自己相似過程

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自己相似過程（じこそうじかてい、英: self-similar process）は、時間あるいは空間スケールについて拡大あるいは縮小しても元の確率過程と同一の確率法則に従う自己相似な確率過程。

• H-ss 過程(self similar process)ということがあり、Hを自己相似指数(スケーリング指数)とする自己相似過程を意味する。
• 自己相似性が厳密に成立するのは統計的な自己相似のみであることから統計的自己相似過程と呼ぶのが正確である。マンデルブロは、空間スケールと時間スケールの相似比が同一ではないという理由から「自己アフィン過程」という名称を使用している。^[1][2]

自己相似過程の定義にはいくつかあるが、ここでは２つの定義方法を示す。^[3]

次の条件を満たす連続確率過程{X(t)}を自己相似過程とする。

${\displaystyle \{X(t)\}{\overset {\underset {\mathrm {d} }{}}{=}}\;\{a^{-H}X(at)\}}$

ここで、

t は時間で t≧0

a は、a≧0

H は自己相似指数(ハーストパラメータ)で 0 < H < 1

${\displaystyle \{Y\}\;{\overset {\underset {\mathrm {d} }{}}{=}}\;\{Z\}}$ は確率過程{Y}と{Z}の分布が同一であることを表す。

まず時系列 X(i) を各区間がm個からなる重複しない区間に分割する。区間kにおける時系列X(i)の平均 X^(m)(k) は次式で表される。

${\displaystyle X^{(m)}(k)={\frac {1}{m}}\sum _{(k-1)m+1}^{km}X(i)}$

ここで、すべてのmについて次の条件を満たす離散確率過程を自己相似過程とする。

${\displaystyle X\;{\overset {\underset {\mathrm {d} }{}}{=}}\;m^{1-H}X^{(m)}}$

自己相似過程の例として次の確率過程があげられる。

• 自己相似加法過程 - 自己相似な加法過程
• 佐藤過程 - 自己分解可能分布に従う自己相似加法過程。
• α-安定レヴィ過程 - α=1/Hの安定分布に従うレヴィ過程。(定常増分をもつ自己相似加法過程)。
• 非整数ブラウン運動 - α=2のα-安定レヴィ過程、すなわち自己相似なガウス過程。

表 話 編 歴 フラクタル
特徴	フラクタル次元 Assouad（英語版） Box-counting（英語版） Correlation（英語版） ハウスドルフ Packing（英語版） 位相 再帰（英語版） 自己相似 自己相似過程 スケール不変性
反復関数系	バーンズリーのシダ カントール集合 ドラゴン曲線 レヴィC曲線 コッホ雪片 メンガーのスポンジ シェルピンスキーのカーペット シェルピンスキーのギャスケット アポロニウスのギャスケット コッホ曲線 空間充填曲線 T-square（英語版）
ストレンジアトラクター	多重フラクタル系（英語版）
L-system	空間充填曲線
Escape-time fractals	バーニングシップ・フラクタル ジュリア集合 充填 リアプノフ・フラクタル マンデルブロ集合 ニュートン・フラクタル（英語版）
確率的フラクタル	ブラウン運動 非整数ブラウン運動 ブラウンの木（英語版） 拡散律速凝集 フラクタル地形 Lévy flight（英語版） パーコレーション理論（英語版） Self-avoiding walk（英語版）
人物	ゲオルク・カントール フェリックス・ハウスドルフ ガストン・ジュリア ヘルゲ・フォン・コッホ ポール・レヴィ アレクサンドル・リャプノフ ブノワ・マンデルブロ ルイス・フライ・リチャードソン ヴァツワフ・シェルピニスキ
その他	"How Long Is the Coast of Britain?（英語版）" 海岸線のパラドックス List of fractals by Hausdorff dimension（英語版） The Beauty of Fractals（英語版） (1986 book)
カテゴリ

表 話 編 歴 確率論
確率の歴史	アンドレイ・コルモゴロフ トーマス・ベイズ アンドレイ・マルコフ ジョゼフ・L・ドゥーブ 伊藤清
確率の定義	客観確率 統計的確率 古典的確率 公理的確率 主観確率 ベイズ確率 確率の拡張 外確率 負の確率
基礎概念	モデル 試行 結果 事象 標本空間 確率測度 確率空間 確率変数 確率変数の収束 確率分布 離散確率分布 連続確率分布 同時分布 周辺分布 条件付き確率分布 独立同分布 関数 確率質量関数 確率密度関数 累積分布関数 特性関数 用語 独立 期待値 モーメント 条件付き確率 条件付き期待値
確率の解釈	ベルトランの逆説 3囚人問題 モンティ・ホール問題 サンクトペテルブルクのパラドックス 合接の誤謬 ギャンブラーの誤謬
問題	壺問題 クーポンコレクター問題
法則・定理	ベイズの定理 大数の法則 中心極限定理 コルモゴロフの0-1法則 デ・フィネッティの定理 ウィーナー＝ヒンチンの定理
測度論	確率測度の拡張 カラテオドリの拡張定理 E.ホップの拡張定理 コルモゴロフの拡張定理 ヴィタリの収束定理 優収束定理 ラプラス原理 スコロホッドの表現定理
確率微分方程式	伊藤の補題
確率過程	独立増分過程 定常過程 マルチンゲール マルコフ過程 マルコフ性 マルコフ連鎖 マルコフ決定過程 部分観測マルコフ決定過程 マルコフ再生過程 ウィーナー過程 ブラウン運動 幾何ブラウン運動 非整数ブラウン運動 ベルヌーイ過程 ガウス過程 自己相似過程 経験過程 中華料理店過程 オルンシュタイン＝ウーレンベック過程
情報量	最大エントロピー原理 交差エントロピー 結合エントロピー カルバック・ライブラー情報量 相互情報量
応用	数理ファイナンス ブラック–ショールズ方程式 確率的ボラティリティモデル 系統学 ベイズ法
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