特性類

特性類 (とくせいるい、英: Characteristic class) は、位相群を構造群とするファイバーバンドルの不変量であり、（十分性質がよい）位相空間Xを底空間とするファイバーバンドル

${\displaystyle \pi ~:~E\to X}$

に対し、Xのコホモロジー群の元を対応させる対応関係

${\displaystyle c~:~\xi =(E,X,\pi )\mapsto c(\xi )\in H^{q}(X;A)}$

で、「自然な」ものである。

原理的には任意のファイバーバンドルに対して特性類を定義できるが、研究が進んでいるのは主にベクトルバンドルに対する特性類である。ベクトルバンドルの特性類は以下の数学の分野に応用がある：

• 障害理論（英語版）
• K理論
• チャーン・ヴェイユ理論
• コボルディズム理論

またXが可微分多様体であれば、Xの接バンドルTXの特性類をX自身の不変量とみなす事ができる。接バンドルTXはXの可微分構造に依存しているので、ミルナーはTXの特性類を利用する事により、7次元球面と位相同型だが微分位相同型ではない可微分多様体（英語版）の存在を示した。

1935年の多様体上のベクトル場についてのエドゥアルト・シュティーフェル (Eduard Stiefel) とハスラー・ホイットニー (Hassler Whitney) の仕事より、特性類の考え方が発生した。

以下、Fをファイバーに持つファイバーバンドルの事をF-バンドルと呼ぶこととし、全空間E、底空間Xおよび射影${\displaystyle \pi ~:~E\to X}$からなるF-バンドルを${\displaystyle (E,X,\pi )}$と表記する。特性類の概念を厳密に定義するには圏論の概念を使う必要があるので、まずは若干厳密性を犠牲にした定義を以下に述べる：

上の定義における記号の意味を説明すると、${\displaystyle f^{*}(c(\xi ))=c(f^{*}(\xi ))}$における左辺の${\displaystyle f^{*}}$は、fがコホモロジーに誘導する写像

${\displaystyle f^{*}~:~c(\xi )\in H^{q}(Y,A)\mapsto f^{*}(c(\xi ))\in H^{q}(X,A)}$

の事であり、右辺の${\displaystyle f^{*}}$はX上のF-バンドル${\displaystyle \xi =(E,X,\pi )}$のfによる引き戻しによって定義されるY上のF-バンドルの事である。

上の定義に関して２つの注意点を述べる。第一に、上の定義におけるバンドル写像fは構造群GのFへの作用と両立するもののみを考えている。したがって例えばn次元実ベクトルバンドルを${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )}$を構造群として持つ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$-バンドルとみなしたとき、各点${\displaystyle x\in X}$のファイバー${\displaystyle F_{x}}$上にバンドル写像fを制限した${\displaystyle f|_{x}~:~F_{x}\to F_{y}}$は線型同型写像でなければならず、行列式が0になってはならない。逆に言えば、いずれかの点${\displaystyle x\in X}$で行列式が0になるfに対しては${\displaystyle f^{*}(c(\xi ))=c(f^{*}(\xi ))}$が成立する必要はないし、次元が異なるベクトルバンドル間の写像に関してもこの性質が成立する必要はない。

第二に、本項では多くの教科書と同様、ファイバーバンドルの底空間BがCW複体である場合に限定して特性類を定義したが、より一般の空間、例えばパラコンパクトな位相空間に対しても特性類を定義できる^[2]。ただしこの場合本項で述べる性質のいくつかは成立しない^[2]。なお幾何学における多くの用途ではCW複体を対象にすれば十分である。実際、任意の可微分多様体は単体的複体、したがってCW複体と位相同型になる事が知られており^[3]、（可微分とは限らない）位相多様体もコンパクトな場合はCW複体とホモトピー同型になる事が知られている^[3]。さらにいえば任意の位相空間はCW複体と弱ホモトピー同型（英語版）である^[4]。

また本項では底空間Bに対してはCW複体である事を要求したものの、構造群G、ファイバーF、全空間Eは（CW複体とは限らない）任意の位相群、位相空間でよい。

構造群を持つファイバーバンドルの性質として以下が知られている：

すなわち特性類を考える上では、底空間の間の写像はホモトピークラスのみを考慮すればよい。

以上では特性類の定義に「対応関係」という未定義の言葉を使ったが、圏論の概念を使えばこうした未定義の語に頼らずに特性類の概念を定義できる：

なお、上述の特性類の定義において圏CWの射は連続写像としたが、下記の定理より、これを胞体写像に変えても定義は同値になる：

特性類に登場するコホモロジーとして、特異コホモロジーより簡便な（だが特異コホモロジーと同値である）胞体コホモロジーを用いる場合は議論に胞体写像を用いる必要があるのでこの定理は有用である。

以下の事実は特性類を具体的に定義する上で鍵となる重要な性質である：

この定理と特例類の定義からファイバーバンドルの特性類と主バンドルの特性類が1対1対応するという重要な事実が明らかに従う：

この事実からファイバーバンドルに対して特性類を定義するには主バンドルに対して特性類が定義できる事が必要十分である事がわかる。そこで以下、おもに主バンドルにフォーカスして特性類の議論をすすめる事とする。

なお上の定理ではGがFに効果的に作用している事を仮定しているが、多くの場合この仮定は必須ではない。実際、Fが十分性質の良い空間、たとえはCW複体であれば、GのFへの作用が連続である必要十分条件は、GのFへ作用のから定まる写像${\displaystyle \phi ~:~G\to \mathrm {Homeo} (F)}$が（${\displaystyle \mathrm {Homeo} (F)}$にコンパクト開位相を入れたとき）連続になる事である^[6]。よってGの作用が忠実ではない場合であっても、写像${\displaystyle \phi }$のカーネルで割った位相群${\displaystyle G/\mathrm {ker} \phi }$はFへ忠実かつ連続に作用するので、F-バンドルの特性類を定義するには主${\displaystyle G/\mathrm {ker} \phi }$-バンドルの特性類を定義すれば良い。

本節では位相群の分類空間のいう概念を導入し、分類空間の概念を用いて主バンドルの特性類の概念を全く別の角度から特徴づける。この分類空間を用いた特性類の定義は、後の節で特性類の具体例を構築する上で非常に有益である。

分類空間の概念を定義するため、まず以下の概念を定義する。

弱可縮の概念を用いて、分類空間の概念は以下のように定義される：

「分類空間」という名称の由来は次節に回すが、分類空間は必ず存在し、本質的に一意である：

上述したように、分類空間はホモトピー同型を除いて一意ではあるものの、同一の位相群に対し位相同型ではない複数の分類空間が存在しうる。このため位相群に対する個々の分類空間の事を分類空間のモデル（英: model）という^[8]。

分類空間はその名称が示す通り、与えられた底空間上のG-バンドルは、底空間から普遍G-バンドル${\displaystyle (PG,BG,\pi _{G})}$への写像のホモトピークラスにより完全に分類される：

なお、上の定理において写像${\displaystyle [f]\in [X,B]\mapsto f^{*}(P)\in {\mathcal {P}}_{G,F}(X)}$がwell-definedな事は、ホモトープな２つの写像が引き戻したバンドルは互いに同型な事だというすでに見た事実から従う。

上記の定理から、X上の任意の主G-バンドルξに対し、写像${\displaystyle f~:~X\to B}$がホモトピー同値を除いて一意に定まる。このfの事をξの分類写像（英: classifying map）という^[9]。

構造群Gを持つファイバーバンドルと主G-バンドルは1対1対応するので、上記の定理から一般のファイバーバンドルに対する分類定理が系として従う：

分類定理の場合と同様、X上のF-バンドルξに対応する写像${\displaystyle f~:~X\to B}$をξの分類写像（英: classifying map）という^[9]。

Gが離散群である場合は、定義より明らかに次が成立する：

この意味において、分類空間とは離散群におけるアイレンベルグ・マックレーン空間の概念を位相群に拡張したものである。

2つの位相群G、Hの間の連続な準同型写像${\displaystyle \varphi ~:~G\to H}$が与えられたとき、φから分類空間の間の写像${\displaystyle B\varphi ~:~BG\to BH}$を定義できる。

この事を見るために主バンドルの一般論を簡単に復習する。${\displaystyle \pi ~:~P\to X}$を主G-バンドルとし、${\displaystyle \varphi ~:~G\to H}$を連続準同型写像とするとき、

${\displaystyle P\times _{\varphi }H}$

を${\displaystyle PG\times H}$を同値関係

${\displaystyle (ag,h)\sim (a,\varphi (g)h)~{\text{ for some}}~g\in G}$

で割った空間とする事で、バランス積（balanced product^[12]）と呼ばれるX上の主H-バンドル

${\displaystyle [(a,h)]\in P\times _{\varphi }H\mapsto \pi (a)\in X}$

を構成できる。そこで${\displaystyle B\varphi ~:~BG\to BH}$を次のように定義する：

実はこの対応関係は関手になっている：

本節では、後で特性類を計算するとき必要となる分類空間の性質を述べる。

分類空間の関手Bは直積に関して以下のように振る舞う。

なお圏論的に言えば、「${\displaystyle X\times _{k}Y}$」はコンパクト生成位相空間の圏における圏論的な直積になっている^[14]。

分類空間の概念を用いる事により、主バンドルに対する特性類の概念を以下のように特徴づける事ができる：

上述の定理の1対1関係は具体的に以下のようにかける。すでに述べたように構造群Gの忠実な作用を持つ任意のF-バンドルの特性類は主G-バンドルの特性類と主G-バンドルの1対1対応するのでこの場合に話を限定する。 まず主G-バンドルの任意の特性類cに対し、

${\displaystyle c(PG)\in H^{*}(BG;A)}$

が対応する。逆に${\displaystyle c_{G}\in H^{*}(BG;A)}$を任意に選ぶと、主G-バンドル${\displaystyle \xi =(P,X,\pi )}$に対し、分類定理により分類写像${\displaystyle f_{\xi }~:~X\to BG}$がホモトピーを除いて一意に定まるので、Xのcに対する特性類を

${\displaystyle c(\xi ):=f_{\xi }{}^{*}(c_{G})\in H^{*}(X;A)}$

により定義できる。

上の定理から、${\displaystyle H^{*}(BG;A)}$の元を普遍特性類(英: universal characteristic class)という事がある。上の定理は普遍特性類と特性類が1対1対応する事を意味している。

定理の証明は以下の通りである：

特性類の概念は原理的には任意の位相群の主バンドルに対して定義できるが、研究が進んでいるのはベクトルバンドル（の主バンドル）に対する特性類である。

そこでベクトルバンドルの特性類について記述するための準備として、本節ではベクトルバンドルの構造群の分類空間を具体的に記述する。

すなわち本節では${\displaystyle K=\mathbb {C} ,\mathbb {R} }$に対し、一般線型群${\displaystyle GL_{n}(K)}$の分類空間を記述する。さらに${\displaystyle \mathbb {R} }$の場合にはベクトルバンドルに向き付けが定義可能なので、向き付け可能な${\displaystyle \mathbb {R} }$上ベクトルバンドルの構造群である${\displaystyle GL_{n}^{+}(\mathbb {R} )}$の分類空間についても記述する。ここで${\displaystyle GL_{n}^{+}(\mathbb {R} )}$は行列式が正の${\displaystyle \mathbb {R} }$上可逆行列のなす群である。

本節ではさらに、ユニタリ群${\displaystyle U_{n}}$、直交群${\displaystyle O_{n}}$、回転群${\displaystyle SO_{n}}$の分類空間についても記述する。後述するように${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {C} )}$、${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {R} )}$、${\displaystyle GL_{n}^{+}(\mathbb {R} )}$の分類空間は、実はそれぞれ${\displaystyle U_{n}}$、${\displaystyle O_{n}}$、${\displaystyle SO_{n}}$の分類空間と等しい。

GL_n(K)の分類空間を記述する為、本節ではスティーフェル多様体（英語版）とグラスマン多様体（英語版）を定義する。

後述するようにこれらはそれぞれ普遍GL_n(K)-バンドルの全空間、分類空間になる。

Wが次元mの有限次元ベクトル空間の場合は、${\displaystyle V_{n}W}$、${\displaystyle V_{n}^{U}W}$、${\displaystyle V_{n}^{O}W}$は集合として自然に

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{n}W&\simeq \mathrm {GL} _{m}(K)/\mathrm {GL} _{m-n}(K)\\V_{n}^{U}W&\simeq U(m)/U(m-n)~~{\text{when }}K=\mathbb {C} \\V_{n}^{O}W&\simeq O(m)/O(m-n)~~{\text{when }}K=\mathbb {R} \end{aligned}}}$

という同一視ができ^{[注 3]}、上式右辺には多様体としての構造が入る事がリー群の一般論^{[注 4]}から従うので、スティーフェル「多様体」と呼ぶ。Wが無限次元の場合は${\displaystyle V_{n}W}$、${\displaystyle V_{n}^{U}W}$、${\displaystyle V_{n}^{O}W}$は有限次元多様体にはならないが、言葉を混用してこの場合もスティーフェル「多様体」と呼ぶ。

スティーフェル多様体と同様、Wが次元mの有限次元ベクトル空間であれば、

${\displaystyle G_{n}W\simeq \mathrm {GL} _{m}(K)/(\mathrm {GL} _{n}(K)\times \mathrm {GL} _{m-n}(K))\simeq {\begin{cases}U(m)/(U(n)\times U(m-n))~&~{\text{when }}K=\mathbb {C} \\O(m)/(O(n)\times O(m-n))~&~{\text{when }}K=\mathbb {R} \end{cases}}}$

および

${\displaystyle {\tilde {G}}_{n}W\simeq \mathrm {GL} _{m}(K)/(\mathrm {GL} _{n}^{+}(K)\times \mathrm {GL} _{m-n}(K))\simeq O(m)/(SO(n)\times O(m-n))~~{\text{when }}K=\mathbb {R} }$

という同一視ができ、この同一視により、${\displaystyle G_{n}W}$、${\displaystyle {\tilde {G}}_{n}W}$に多様体としての構造が入る。

スティーフェル多様体${\displaystyle V_{n}W}$の元であるn-フレームにそのフレームの貼る部分空間を対応させる事で商写像

${\displaystyle \pi _{n}~:~V_{n}W\to G_{n}W}$

を定義できる。${\displaystyle \pi _{n}~:~V_{n}^{U}W\to G_{n}W}$、${\displaystyle \pi _{n}~:~V_{n}^{O}W\to G_{n}W}$、${\displaystyle \pi _{n}~:~V_{n}^{O}W\to {\tilde {G}}_{n}W}$も同様に定義できる。

上記の定理に関する留意点を述べる。${\displaystyle K=\mathbb {C} ,\mathbb {R} }$に対するGL_n(K)の分類空間はU(n)、O(n)の分類空間と同一な空間${\displaystyle G_{n}K^{\infty }}$である。

これはCW複体上の任意のベクトルバンドルには必ず内積が定義でき、グラム・シュミットの正規直交化法によりGL_n(K)がU(n)、O(n)に可縮である事が理由である^[18]。

分類定理で述べたように、G_nK^∞上の主GL_n(K)-バンドルV_nK^∞に随伴するn次元ベクトルバンドルは、任意のCW複体X上のn次元ベクトルバンドルを分類する上で有益である。このためV_nK^∞に随伴するn次元ベクトルバンドルの事を普遍n-平面バンドル（英: universal n-plane bundle）^[19]と呼ぶ。

バンドルの一般論から、普遍n-平面バンドルは${\displaystyle (V_{n}K^{\infty }\times K^{n})/GL_{n}(K)}$と表記できるが、より具体的に表記する事も可能である。

グラスマン多様体G_nK^mはK^mのn次元部分ベクトル空間全体のなす多様体なので、グラスマン多様体の元V＝ベクトル空間上のファイバーとして、V自身を取ったベクトルバンドルを定義でき、これをグラスマン多様体のトートロジカル・バンドル（英語版）と呼ぶが、G_nK^∞のトートロジカル・バンドルが普遍n-平面バンドルになっている。

具体的には

${\displaystyle E_{n}^{m}:=\{(V,v)\in G_{n}K^{m}\times K^{m}\mid v\in V\}}$

とし、第一成分への射影${\displaystyle \pi _{n}^{m}~:~(V,v)\in E_{n}^{m}\mapsto V\in G_{n}K^{m}}$により${\displaystyle E_{n}^{m}}$をG_nK^m上のベクトルバンドルとみなしたものがG_nK^mのトートロジカル・バンドルであり、m→∞に関する帰納的極限をとった

${\displaystyle \pi _{n}~:~E_{n}\to G_{n}K^{\infty }}$

が普遍n-平面バンドルになっている^[19]。

本章では、複素ベクトルバンドルの特性類であるチャーン類について述べる。これまでの議論からわかるように、複素ベクトルバンドルの整数係数の特性類とは分類空間

${\displaystyle BGL_{n}(\mathbb {C} )=BU(n)=G_{n}\mathbb {C} ^{\infty }}$

のコホモロジー${\displaystyle H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )}$の元と1対1対応するので、${\displaystyle H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )}$の具体的構成を調べる事で複素ベクトルバンドルの特性類を決定できる。チャーン類は、${\displaystyle H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )}$の生成元である。

チャーン類について記述するため、まず${\displaystyle H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )}$の具体的構成を調べる。${\displaystyle n=1}$に対しては以下が成立する：

なお、上の補題において${\displaystyle \alpha }$は偶数次のコホモロジーの元なので、${\displaystyle \mathbb {Z} [\alpha ]}$上カップ積は可換であるため、${\displaystyle \mathbb {Z} [\alpha ]}$が可換環であるという事実と矛盾しない。

一般のnに対して${\displaystyle H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )}$の具体的構造を求めるため、連続準同型写像^{[注 6]}

${\displaystyle \iota ~:~U(1)^{n}\hookrightarrow U(n),~~(A_{1},\ldots ,A_{n})\mapsto A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}}$

を考える。ここで${\displaystyle A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}}$は${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$をn×n行列の対角成分に配置した${\displaystyle U(n)}$の元である。（なおリー群の観点からは、${\displaystyle U(n)}$の極大トーラス${\displaystyle U(1)^{n}}$である）。このとき以下が成立する。

なお、上式においてコホモロジー環における積はカップ積である。また上式の値域における同型は直積に対する分類空間の振る舞いとKünnethの公式（英語版）、および上記の補題から従う。

以上の事実から、後は${\displaystyle H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )}$の${\displaystyle \iota ^{*}}$による像が${\displaystyle \mathbb {Z} [\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}]}$のどのような部分集合に落ちるかを決定すれば、${\displaystyle H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )}$を具体的に書きあらわす事ができる。

${\displaystyle H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )}$の像を決定するため、主バンドル一般に対して成立する以下の事実を利用する：

${\displaystyle A\in U(n)}$に対し${\displaystyle \varphi _{A}~:~B\mapsto ABA^{-1}}$を${\displaystyle U(n)}$上の内部自己同型とすると、上述の命題より、${\displaystyle \varphi _{A}}$がコホモロジー群に誘導する写像

${\displaystyle B\varphi _{A}{}^{*}~:~H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )\to H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )}$

は恒等写像である。単射${\displaystyle \iota }$により${\displaystyle U(1)^{n}}$を${\displaystyle U(n)}$の部分群とみなし、${\displaystyle U(1)^{n}}$の正規化群

${\displaystyle N=\{A\in U(n)\mid \varphi _{A}(U(1)^{n})=U(1)^{n}\}}$

を${\displaystyle U(1)^{n}}$の中心化群

${\displaystyle Z=\{A\in U(n)\mid \forall B\in U(1)^{n}~:~\varphi _{A}(B)=B\}}$

で割った${\displaystyle W=N/Z}$を考え、

${\displaystyle H^{*}(BU(1)^{n};\mathbb {Z} )^{W}:=\{u\in H^{*}(BU(1)^{n};\mathbb {Z} )\mid \forall [A]\in W~:~B\varphi _{A}|_{U(1)^{n}}{}^{*}(u)=u\}}$

と定義する^{[注 7]}とこの定義はWell-definedである。ここで${\displaystyle [A]\in W=N/Z}$は同値類を表す。

このとき次の事実が従う事が知られている：

一般に連結なコンパクトリー群Gに対し、Gの極大トーラスをTとするとき、Tの正規化群${\displaystyle N:=\{g\in G\mid \varphi _{g}(T)=T\}}$を中心化群${\displaystyle Z:=\{g\in G\mid \forall t\in T~:~\varphi _{g}(t)=t\}}$で割った群

${\displaystyle W(G):=N/Z}$

の事をGのワイル群という。なお極大トーラスは共役を除いて一意に定まる事が知られているので、ワイル群は極大トーラスの取り方によらず同型になる。またTの極大性から中心化群Z(G)は実はT自身に等しい。

明らかに前述のWは${\displaystyle U(n)}$のワイル群に相当する。後は${\displaystyle U(n)}$のワイル群を決定しさえすれば、${\displaystyle H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )\approx H^{*}(BU(1)^{n};\mathbb {Z} )^{W}}$の構造が決定できる。

${\displaystyle P_{ij}~:~\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}}$を第i成分と第j成分を入れ替える行列とすると、明らかに${\displaystyle [P_{ij}]\in W}$である。この事実を利用すると、以下の事実が示せる：

位相群に分類空間を対応させる関手Bと位相空間にコホモロジー環を対応させる関手H^*が直積を保つので、上述の定理からWは${\displaystyle H^{*}(BU(1)^{n};\mathbb {Z} )\approx \mathbb {Z} [\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}]}$の${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$を入れ替える形で${\displaystyle H^{*}(BU(1)^{n};\mathbb {Z} )}$に作用する。よって

${\displaystyle H^{*}(BU(1)^{n};\mathbb {Z} )^{W}\subset H^{*}(BU(1)^{n};\mathbb {Z} )\approx \mathbb {Z} [\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}]}$

は対称多項式全体の集合に一致する。よく知られているように、任意の対称多項式は基本対称式の多項式として書けるので、以上の事実からチャーン類を以下のように定義する：

分類空間${\displaystyle H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )}$の元と特性類は1対1でするので、第iチャーン類${\displaystyle c_{i}}$に対応する特性類

${\displaystyle c_{i}(\xi )}$

をベクトルバンドルξの第iチャーン類という。分類空間の元${\displaystyle c_{i}}$を${\displaystyle c_{i}(\xi )}$と区別したいときは、${\displaystyle c_{i}}$を第i普遍チャーン類（英: i-th universal Chern class）という。

なお、${\displaystyle 1\in H^{*}(BU(1)^{n};\mathbb {Z} )}$を「0次の基本対象式」とみなし、${\displaystyle c_{0}^{(n)}:=(\iota ^{*})^{-1}(1)=1}$を第0チャーン類と呼ぶ。また${\displaystyle n+1}$次以上の基本対称式は存在しないので、${\displaystyle m>n}$に対しては、第mチャーン類を${\displaystyle c_{m}^{(n)}:=0}$と定義する^{[注 8]}。

またチャーン類は埋め込み${\displaystyle \iota ~:~U(1)^{n}\to U(n)}$を使って定義されており、この埋め込みは${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$の正規直交基底の取り方に依存している。しかし正規直交基底の取り替えにより、${\displaystyle \iota }$は${\displaystyle U(n)}$の内部自己同型${\displaystyle \varphi _{A}}$との合成${\displaystyle \iota \circ \varphi _{A}}$に置き換わるだけなので、前述した命題から、チャーン類は正規直交基底の取り方によらずwell-definedである。

以上で見たように各α₁,...,α_nは対称多項式の根に相当するものなので、α₁,...,α_nの事をチャーン根^{[訳語疑問点]}（Chern root^[21]）という。

これまでの議論とチャーン類の定義から明らかに以下の事実が従う：

チャーン類の定義において、α₁,...,α_nの代わりに単元${\displaystyle u\in \mathbb {C} ,{\text{ s.t. }}|u|=1}$をこれらに掛けた${\displaystyle \beta _{1}:=u\alpha _{1},\ldots ,\beta _{n}:=u\alpha _{n}}$をチャーン根とするようにチャーン類を定義する事もできるため、チャーン類の定義には単元uの選び方だけ自由度がある事になる。

そこで何らかの規約を置くことでこの自由度を消す必要があるが、どのような規約を置くかは分野による。代数的位相幾何学では普遍1-平面バンドル${\displaystyle \xi _{U}=(EU(1),BU(1),\pi )}$に対し、${\displaystyle c_{1}^{(1)}(\xi _{U})}$が${\displaystyle H^{2}(BU(1),\mathbb {Z} )}$のcanonicalな生成元になるという規約を置く事が多いが^[22]、代数幾何学では${\displaystyle \xi _{U}}$の双対ベクトルバンドル${\displaystyle \xi _{U}^{*}}$に対して${\displaystyle c_{1}^{(1)}(\xi _{U}^{*})}$が${\displaystyle H^{2}(BU(1),\mathbb {Z} )}$のcanonicalな生成元になるという規約を置く事が多い^[22]。

区別のため代数幾何学の方のチャーン類を${\displaystyle c'{}_{k}^{(n)}}$と書くことにすると、代数的位相幾何学のチャーン類とは

${\displaystyle c'{}_{k}^{(n)}=(-1)^{k}c_{k}^{(n)}}$

という関係を満たす^[22]。本稿では以下、特に断りがない限り、代数的位相幾何学の規約を採用するものとする。

前節で定義したチャーン類が次元公理と正規化公理を満たすのは明らかである。ホイットニー和の公式の証明は下記のとおりである。

一方、上記の公理を満たす特性類の一意性は数学的帰納法により容易に示せる。

チャーン類を取り扱う上で、下記のチャーン多項式を考えると便利である：

なお、チャーン類の定義より、チャーン多項式はチャーン根を使って形式的に

${\displaystyle c(\xi ,t)=\prod _{i}(t+\alpha _{i})}$

と因数分解できる。

チャーン多項式を用いると、ホイットニー和の公式は以下のように言い換えられる：

チャーン多項式は以下の性質を満たす。なお文献によっては以下の性質をチャーン類の公理として入れているものもあるが^[28]、実は他の公理から従うので^[29]、公理に入れる必要はない。

本節以降、実ベクトルバンドルの特性類を記述していくが、その記述は複素ベクトルバンドルのそれと比べかなり複雑であるので、詳細は次節以降に譲り、本節では実ベクトルバンドルの特性類の概要を述べる。

実ベクトルバンドルの特性類が複雑になる理由は２つある：

1. 実ベクトルバンドルの主バンドルの分類空間${\displaystyle H^{*}(BO(n),\mathbb {Z} )}$は複素ベクトルバンドルの主バンドルの${\displaystyle H^{*}(BU(n),\mathbb {Z} )}$と違い、${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$-捩れ部分群を持つ。この捩れ部分群が「悪さ」をするため、${\displaystyle H^{*}(BO(n),\mathbb {Z} )}$を簡単に記述する事ができない。
2. 実ベクトルバンドルの場合は複素ベクトルバンドルと違い、向き付けの概念がある。このため向き付けのない場合の分類空間${\displaystyle H^{*}(BO(n),\mathbb {Z} )}$と向き付けのある場合の分類空間${\displaystyle H^{*}(BSO(n),\mathbb {Z} )}$の両方を考察しなければならない。

1つ目の問題を回避するために、以下では${\displaystyle H^{*}(BO(n),\mathbb {Z} )}$を直接考察するのを諦め、${\displaystyle H^{*}(BO(n),\mathbb {Z} _{2})}$と${\displaystyle H^{*}(BO(n),\Lambda )}$の２つを別々に考察することにする。ここでΛは2の逆元を持つ任意の可換環^{[注 9]}である。ボックシュタインスペクトル系列（英語版）を使う事で${\displaystyle H^{*}(BO(n),\mathbb {Z} _{2})}$と${\displaystyle H^{*}(BO(n),\Lambda )}$から${\displaystyle H^{*}(BO(n),\mathbb {Z} )}$を計算できるので、実用上はこの２つに対する特性類が把握できていれば十分である。

2つ目の問題に関しては、${\displaystyle H^{*}(BO(n))}$と${\displaystyle H^{*}(BSO(n))}$とは環構造が異なるので、この２つを両方とも考察する必要がある。

係数環が${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$の場合の特性類の記述は比較的簡単であり、${\displaystyle H^{*}(BO(n))}$と${\displaystyle H^{*}(BSO(n))}$の差はさほど大きくなく、

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{*}(BO(n),\mathbb {Z} _{2})&=\mathbb {Z} _{2}[w_{1},\ldots ,w_{n}]\\H^{*}(BSO(n),\mathbb {Z} _{2})&=\mathbb {Z} _{2}[w_{2},\ldots ,w_{n}],~~w_{1}=0\\\end{aligned}}}$

という形で両者を記述できる。ここで${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$はスティーフェル・ホイットニー類と呼ばれる特性類で、このような${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$の存在はチャーン類の場合と類似した方法で証明できる。ただし第iチャーン類が2i次のコホモロジー群に属するのに対し、第iスティーフェル・ホイットニー類はi次のコホモロジー群に属するので注意が必要である。

それに対し係数環が${\displaystyle 2^{-1}\in \Lambda }$を満たすΛの場合はより複雑である。${\displaystyle H^{*}(BO(n),\Lambda )}$に関しては、

${\displaystyle H^{*}(BO(n),\Lambda )=\Lambda [p_{1},\ldots ,p_{\lfloor n/2\rfloor }]}$

の形で記述でき、${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}}$をポントリャーギン類という。（${\displaystyle p_{i}}$は4i次のコホモロジー群に属する）。ここで${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$は床関数である。 具体的にはポントリャーギン類は実ベクトルバンドルを複素化する事で得られる複素ベクトルバンドルのチャーン類を使って

${\displaystyle p_{i}=(-1)^{i}c_{2i}}$

と書ける。（なお、実ベクトルバンドルの複素化の場合、奇数次のチャーン類${\displaystyle c_{2i+1}}$は${\displaystyle 2c_{2i+1}=0}$を満たし、よって係数環がΛの場合は必ず${\displaystyle c_{2i+1}=0}$になる）。

一方、${\displaystyle H^{*}(BSO(n),\Lambda )}$はnが偶数か奇数で形が異なり、

${\displaystyle H^{*}(BSO(n),\Lambda )={\begin{cases}\Lambda [p_{1},\ldots ,p_{\lfloor n/2\rfloor }]&{\text{ if }}n{\text{ is odd}}\\\Lambda [p_{1},\ldots ,p_{\lfloor n/2\rfloor },\chi ]/(\chi ^{2}=p_{\lfloor n/2\rfloor })&{\text{ if }}n{\text{ is even}}\\\end{cases}}}$

と書ける。ここで${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{\lfloor n/2\rfloor }}$は前述のポントリャーギン類であり、χはオイラー類と呼ばれる特性類である。また${\displaystyle \Lambda [p_{1},\ldots ,p_{\lfloor n/2\rfloor },\chi ]/(\chi ^{2}=p_{\lfloor n/2\rfloor })}$は多項式環${\displaystyle \Lambda [p_{1},\ldots ,p_{\lfloor n/2\rfloor },\chi ]}$においてχ²をp_nと同一視して得られる環を表す。すなわち${\displaystyle \Lambda [p_{1},\ldots ,p_{n},\chi ]}$を単項イデアル${\displaystyle (\chi ^{2}-p_{\lfloor n/2\rfloor })}$で割った環である。

以上をまとめると、実ベクトルバンドルの分類空間のコホモロジーは以下のように記述できる：

係数環	分類空間	コホモロジー
${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$	${\displaystyle BO(n)}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}[w_{1},\ldots ,w_{n}]}$
	${\displaystyle BSO(n)}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}[w_{2},\ldots ,w_{n}]}$、${\displaystyle w_{1}=0}$
${\displaystyle 2^{-1}\in \Lambda }$を満たすΛ	${\displaystyle BO(n)}$	${\displaystyle \Lambda [p_{1},\ldots ,p_{\lfloor n/2\rfloor }]}$
	${\displaystyle BSO(n)}$s.t. nは奇数
	${\displaystyle BSO(n)}$s.t. nは偶数	${\displaystyle \Lambda [p_{1},\ldots ,p_{\lfloor n/2\rfloor },\chi ]/(\chi ^{2}=p_{\lfloor n/2\rfloor })}$

本節では${\displaystyle H^{2}(BO(n);\mathbb {Z} )}$の構造を具体的に決定し、それをもとにスティーフェル・ホイットニー類を定義する。

${\displaystyle H^{2}(BO(n);\mathbb {Z} )}$の構造の決定方法やスティーフェル・ホイットニー類の定義は、基本的には${\displaystyle H^{2}(BU(n);\mathbb {Z} )}$の構造の決定方法やチャーン類の定義と同様である。一点大きく違うのは、チャーン類の場合は${\displaystyle H^{*}(BU(1);\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]}$を満たす${\displaystyle \alpha }$が2次のコホモロジー群${\displaystyle H^{2}(BU(1);\mathbb {Z} )}$に属していたのに対し、スティーフェル・ホイットニー類の場合はそのような元が1次のコホモロジー群に属する事である：

この違いが原因でチャーン類は偶数次のコホモロジー群にしか登場しなかったが、スティーフェル・ホイットニー類は奇数次のコホモロジーにも登場する。

なお、コホモロジーの係数が${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$なので、カップ積は奇数次のコホモロジーにおいても可換である。

自然数${\displaystyle n\geq 1}$に対し${\displaystyle H^{2}(BO(n);\mathbb {Z} _{2})}$の具体的形を調べるため、チャーン類のときと同様、連続準同型写像

${\displaystyle \iota ~:~O(1)^{n}\hookrightarrow O(n),~(A_{1},\ldots ,A_{n})\mapsto A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}}$

により${\displaystyle O(1)^{n}}$を${\displaystyle O(n)}$の部分群とみなす。ここで「${\displaystyle \oplus }$」は対角線上に行列を並べる演算である。

${\displaystyle \varphi _{A}~:~B\mapsto ABA^{-1}}$を内部自己同型とする。チャーン類の時と同様、${\displaystyle O(1)^{n}}$の正規化群

${\displaystyle N=\{A\in O(n)\mid \varphi _{A}(O(1)^{n})=O(1)^{n}\}}$

を${\displaystyle O(1)^{n}}$の中心化群

${\displaystyle Z=\{A\in O(n)\mid \forall B\in O(1)^{n}~:~\varphi _{A}(B)=B\}}$

で割った${\displaystyle \Sigma =N/Z}$を考え^{[注 10]}、

${\displaystyle H^{*}(BO(1)^{n};\mathbb {Z} )^{\Sigma }:=\{u\in H^{*}(BO(1)^{n};\mathbb {Z} )\mid \forall [A]\in \Sigma ~:~B\varphi _{A}{}^{*}(u)=u\}}$

と定義するとこの定義はWell-definedである。ここで${\displaystyle [A]\in \Sigma =N/Z}$は同値類を表す。このとき次の事実が従う：

ここでβ_iは${\displaystyle H^{*}(BO(1)^{n};\mathbb {Z} _{2})\approx H^{*}(BO(1);\mathbb {Z} _{2})\otimes \cdots \otimes H^{*}(BO(1);\mathbb {Z} _{2})}$のi番目の${\displaystyle H^{*}(BO(1);\mathbb {Z} _{2})}$の生成元である。

スティーフェル・ホイットニー類を以下のように定義する：

分類空間${\displaystyle H^{*}(BO(n);\mathbb {Z} _{2})}$の元と特性類は1対1でするので、第iスティーフェル・ホイットニー類${\displaystyle w_{i}}$に対応する特性類

${\displaystyle w_{i}(\xi )}$

をベクトルバンドルξの第iスティーフェル・ホイットニー類という。分類空間の元${\displaystyle w_{i}}$を${\displaystyle w_{i}(\xi )}$と区別したいときは、${\displaystyle w_{i}}$を第i普遍スティーフェル・ホイットニー類（英: i-th universal Stiefel–Whitney class class）という。

チャーン類のときと同様、${\displaystyle w_{0}^{(n)}:=(\iota ^{*})^{-1}(1)=1}$、${\displaystyle w_{m}^{(n)}:=0}$ for ${\displaystyle m>n}$と定義する。

明らかに以下の事実が従う^[32]：

チャーン類と同様スティーフェル・ホイットニー類も公理的に特徴づける事ができる：

全チャーン類と同様、全スティーフェル・ホイットニー類を定義でき、全チャーン類と同様の性質を示す事ができる^{[注 11]}：

自然な写像${\displaystyle \nu ~:~SO(1)\to U(1)}$が誘導する写像${\displaystyle H^{*}(U(1);\mathbb {Z} _{2})\to H^{*}(SO(1);\mathbb {Z} _{2})}$は単射であり、${\displaystyle H^{*}(U(1);\mathbb {Z} _{2})}$の生成元αの自乗α²がβに移る事が知られている^[36]。したがって ${\displaystyle \sigma _{i}(\alpha _{1}{}^{2},\ldots ,\alpha _{n}{}^{2})\in H^{*}(U(1)^{n};\mathbb {Z} _{2})}$は${\displaystyle w_{i}\in \sigma _{i}(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})\in H^{*}(U(1)^{n};\mathbb {Z} _{2})}$に移るが、${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$上では${\displaystyle \sigma _{i}(\alpha _{1}{}^{2},\ldots ,\alpha _{n}{}^{2})=\sigma _{i}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})^{2}=c_{i}}$になので、以下が成立する：

逆に複素ベクトルバンドル${\displaystyle \omega }$から複素構造を忘れて（英語版）実ベクトルバンドルとみなしたものを${\displaystyle \xi }$の脱複素化（英: decomplexification、英: realification）と呼び、${\displaystyle \omega _{\mathbb {R} }}$と書くと任意の非負整数iに対して以下が成立する事が知られている：

本節では${\displaystyle 2^{-1}\in \Lambda }$を満たす可換環Λに対し、${\displaystyle H^{*}(BSO(n),\Lambda )}$、${\displaystyle H^{*}(BO(n),\Lambda )}$の構造を決定し、これをもとにポントリャーギン類とオイラー類を定義する。

本節ではコホモロジー環${\displaystyle H^{*}(BSO(n),\Lambda )}$、${\displaystyle H^{*}(BO(n),\Lambda )}$の構造し、これをもとにポントリャーギン類とオイラー類を定義する。そのために利用するのは、チャーン類のときと同様、ワイル群に関する議論である。そこでSO(n)の極大トーラスを記述するため、nが偶数であるか奇数であるかに応じてn=2m、n=2m+1として${\displaystyle \mu ~:~SO(2)^{m}\hookrightarrow SO(n)}$を

${\displaystyle \mu ~:~SO(2)^{m}\hookrightarrow SO(n),~~(R(\theta _{1}),\ldots ,R(\theta _{m}))\mapsto {\begin{cases}R(\theta _{1})\oplus \cdots \oplus R(\theta _{m})&{\text{if }}n=2m\\R(\theta _{1})\oplus \cdots \oplus R(\theta _{m})\oplus 1&{\text{if }}n=2m+1\end{cases}}}$

により定義する^[38]。ここで「${\displaystyle \oplus }$」は対角線上に行列を並べる演算であり、R(θ)は2次元の回転行列

${\displaystyle R(\theta ):={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}}$

である。${\displaystyle \mu }$によるSO(2)^mの像はSO(n)の極大トーラスである事が知られている。さらに自然な埋め込み${\displaystyle \iota ~:~SO(n)\hookrightarrow O(n)}$を考える。

そしてこれら２つの写像が分類空間のコホモロジーに誘導する写像を考える：

${\displaystyle H^{*}(BO(n),\Lambda ){\overset {B\iota ^{*}}{\to }}H^{*}(BSO(n),\Lambda ){\overset {B\mu ^{*}}{\to }}H^{*}(BSO(2)^{m},\Lambda )\approx \Lambda [\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m}]}$

上式の最後の同型「${\displaystyle \approx }$」は、リー群として${\displaystyle SO(2)\approx U(1)}$である事からチャーン類のときの議論により従う。ここで「${\displaystyle \approx }$」は環としての同型であり、${\displaystyle H^{*}(BSO(2)^{m},\Lambda )}$の積はカップ積である。

またγ_jは${\displaystyle H^{*}(BSO(2)^{m};\Lambda )\approx \otimes _{j}H^{*}(BSO(2);\Lambda )}$のj番目の${\displaystyle H^{*}(BSO(2);\Lambda )}$の生成元であり、γ_jは次数2のコホモロジー${\displaystyle \gamma _{j}\in H^{2}(BSO(2);\Lambda )}$に属している。（これらもチャーン類のときの議論により従う）。

なお、${\displaystyle H^{*}(BSO(2);\Lambda )\approx \Lambda [\gamma ]}$の生成元γの選び方は、Λの単元倍の自由度があるので、この自由度をなくす為、以下の規約を置く：

上で自然な同型${\displaystyle SO(2)\approx U(1)}$を用いた。このように規約を決めると、チャーン類の定義から${\displaystyle \gamma =c_{1}}$は整数係数のコホモロジー${\displaystyle H^{*}(BSO(2);\mathbb {Z} )=H^{*}(BU(1);\mathbb {Z} )}$に属する事になるのが利点である。

本項の目標は、${\displaystyle H^{*}(BSO(2)^{m},\Lambda )\approx \Lambda [\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m}]}$を用いる事で${\displaystyle H^{*}(BSO(n),\Lambda )}$と${\displaystyle H^{*}(BO(n),\Lambda )}$の構造を特定し、これをもとにポントリャーギン類とオイラー類を定義する事である。

詳細は後回しにし、先に結論を述べる。

ポントリャーギン類とオイラー類を以下のように定義する：

紛れがなければ、${\displaystyle p_{i}^{(n)}}$、${\displaystyle e^{(n)}}$を単に${\displaystyle p_{i}}$、${\displaystyle e}$と書く。

分類空間${\displaystyle H^{*}(BO(n);\Lambda )}$や${\displaystyle H^{*}(O(n);\Lambda )}$の元と特性類は1対1でするので、第iポントリャーギン類${\displaystyle p_{i}}$やオイラー類eに対応する特性類

${\displaystyle p_{i}(\xi )}$、${\displaystyle e(\xi )}$

をそれぞれベクトルバンドルξの第iポントリャーギン類、オイラー類という。分類空間の元${\displaystyle p_{i}}$、eを${\displaystyle p_{i}(\xi )}$、${\displaystyle e(\xi )}$と区別したいときは、${\displaystyle p_{i}}$、eをそれぞれ第i普遍ポントリャーギン類（英: i-th universal Pontryagin class）、普遍オイラー類（英: universal Euler class）という。

なぜ上述の定理が成立するのかについては後述する。

本節では、前述したH^*(BSO(n);Λ)とH^*(BO(n);Λ)の構造を記述した定理がなぜ成立するかを次の３つの場合に分けて説明する：

• nが偶数の場合のH^*(BSO(n);Λ)の構造
• nが奇数の場合のH^*(BSO(n);Λ)の構造
• H^*(BO(n);Λ)の構造

定理を示すにはチャーン類の場合と同様、ワイル群を用いる事でH^*(BSO(n);Λ)の構造を決定する。そのためにBorelによる以下の一般的な定義を用いる：

${\displaystyle H^{*}(SO(n);\Lambda )}$が${\displaystyle p\neq 2}$のねじれ元を持たない事を利用して、以下の命題を示せる：

上述の命題ではBorelの定理で「${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$」であったところが「Λ」に代わっているが、普遍係数定理を用いる事で「Λ」に代えてよい事が容易に示せる。

以上の事からSO(n)のワイル群W=W(SO(n))の具体的な形と

${\displaystyle H^{*}(BSO(2)^{m},\mathbb {Z} )^{W}\otimes \Lambda \subset H^{*}(BSO(2)^{m},\mathbb {Z} )\approx \Lambda [\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m}]}$

の具体的な形を決定すれば${\displaystyle H^{*}(BSO(n),\Lambda )}$の具体的な形が決定できる事になる。

n=2mとし、ワイル群${\displaystyle W=W(SO(n))}$の具体的な形を決定するため、実ベクトル空間として${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=(\mathbb {R} ^{2})^{m}}$という同一視をし、以下の２種類の行列を考える^[38][44]：

• P_σ：${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2})^{m}}$の成分を置換${\displaystyle \sigma }$に従って入れ替える置換行列。すなわち${\displaystyle (x_{j},y_{j})_{j=1,\ldots ,m}\in (\mathbb {R} ^{2})^{m}}$を${\displaystyle (x_{\sigma (i)},y_{\sigma (i)})_{i=1,\ldots ,m}\in (\mathbb {R} ^{2})^{m}}$に写す行列。
• C_i：y_iの符号を反転する写像。すなわち${\displaystyle (x_{j},y_{j})_{j=1,\ldots ,m}\in (\mathbb {R} ^{2})^{m}}$を${\displaystyle (x_{j},(-1)^{\delta _{i,j}}y_{j})_{j=1,\ldots ,m}\in (\mathbb {R} ^{2})^{m}}$に写す行列^{[注 13]}。ここでδ_i,jはクロネッカーのデルタである。

P_σの方はx_iとy_iがセットになって置換されるので${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=(\mathbb {R} ^{2})^{m}}$上の空間の向きを保ち、SO(n)に属するが、C_iの方は空間の向きを反転するのでO(n)には属するもののSO(n)には属さない。しかしC_iを偶数個かけ合わせたものはSO(n)に属する^[38]。

よって${\displaystyle P_{\sigma }}$、${\displaystyle C_{i}}$が${\displaystyle H^{*}(BSO(2)^{m};\mathbb {Z} )\approx \mathbb {Z} [\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m}]}$上に誘導する写像を特定すれば、${\displaystyle H^{*}(BSO(n);\Lambda )}$の構造が決定できるが、これらの写像は以下の通りである：

よって、以下が成立する：

これらの事実を用いると、基本対称式${\displaystyle p_{i}=\sigma _{i}(\gamma _{1}{}^{2},\ldots ,\gamma _{m}{}^{2})}$と${\displaystyle e=\gamma _{1}\cdots \gamma _{m}}$を用いて、

${\displaystyle H^{*}(BSO(n);\Lambda )\approx \Lambda [p_{1},\ldots ,p_{m},e]}$

と書ける事がわかる。

n=2m+1とし、ワイル群${\displaystyle W=W(SO(n))}$を具体的に求めるため、実ベクトル空間として${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=(\mathbb {R} ^{2})^{m}\times \mathbb {R} }$という同一視をし、P_σ、C_iをnが偶数の場合と同様に取る^{[注 14]}。さらに以下の行列を考える：

• M：${\displaystyle ((x_{i},y_{i})_{i},z)\in (\mathbb {R} ^{2})^{m}\times \mathbb {R} }$に${\displaystyle ((x_{i},y_{i})_{i},-z)}$を対応させる写像。

Mは明らかに位数2の元であり、しかもC_iと可換である。そして埋め込み${\displaystyle \mu ~:~SO(2)^{m}\hookrightarrow SO(n)}$の定義からMによる共役は${\displaystyle SO(2)^{m}}$上恒等写像になる。

nが偶数の場合と同様の議論により、ワイル群の任意の元は${\displaystyle C_{1},\ldots ,C_{m},M}$の偶数個の積とP_σとの積により書ける事がわかるが、Mに着目するとさらに簡単な表現も得られる。

実際、Mによる共役は${\displaystyle SO(2)^{m}}$上恒等写像なので、変換に影響するのはM以外の${\displaystyle C_{1},\ldots ,C_{m}}$（とP_σ）のみである。そしてこれらの積${\displaystyle C_{1}{}^{\varepsilon _{1}}\cdots C_{m}{}^{\varepsilon _{m}}}$が偶数個の積であっても奇数個の積であっても、

${\displaystyle {\bar {C}}_{i}:=C_{i}M}$

とすると、${\displaystyle {\bar {C}}_{1}{}^{\varepsilon _{1}}\cdots {\bar {C}}_{m}{}^{\varepsilon _{m}}=C_{1}{}^{\varepsilon _{1}}\cdots C_{m}{}^{\varepsilon _{m}}M^{\varepsilon _{1}+\cdots +\varepsilon _{m}}}$は必ず偶数個の元${\displaystyle C_{1},\ldots ,C_{m},M}$の積である。よって以下が成立する：

nが偶数の場合と同様、${\displaystyle P_{\sigma }}$、${\displaystyle C_{i}}$が${\displaystyle H^{*}(BSO(2);\mathbb {Z} )\approx \mathbb {Z} [\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m}]}$上に誘導する写像は、それぞれ${\displaystyle \gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m}}$を${\displaystyle \gamma _{\sigma (1)},\ldots ,\gamma _{\sigma (m)}}$に写す写像、${\displaystyle \gamma _{i}}$を${\displaystyle -\gamma _{i}}$に代える写像である。またMによる共役は恒等写像なので、${\displaystyle {\bar {C}}_{i}=C_{i}M}$が${\displaystyle H^{*}(BSO(2);\mathbb {Z} )\approx \mathbb {Z} [\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m}]}$上に誘導する写像も${\displaystyle \gamma _{i}}$を${\displaystyle -\gamma _{i}}$に代える写像である。よって以下が成立する。

これらの写像で不変な元は${\displaystyle \gamma _{i}{}^{2}}$の対称式なので、基本対称式${\displaystyle p_{i}=\sigma _{i}(\gamma _{1}{}^{2},\ldots ,\gamma _{m}{}^{2})}$を用いて、

${\displaystyle H^{*}(BSO(n);\Lambda )\approx \Lambda [p_{1},\ldots ,p_{m}]}$

と書ける事がわかる。

${\displaystyle O(n)/SO(n)=\mathbb {Z} _{2}}$である事から、部分群の分類空間に関する定理より、包含写像${\displaystyle \iota ~:~SO(n)\subset O(n)}$が誘導する写像

${\displaystyle B\iota ~:~BSO(n)\to BO(n)}$

は${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$-主バンドルである^[38]。

${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$のBSO(n)への作用は、${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$の${\displaystyle H^{*}(BSO(n);\Lambda )}$への作用を誘導する。${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$の作用により不変な${\displaystyle H^{*}(BSO(n);\Lambda )}$の元の集合を${\displaystyle H^{*}(BSO(n);\Lambda )^{\mathbb {Z} _{2}}}$とすると以下が成立する事が知られている：

上述の定理から特に、

${\displaystyle H^{*}(BO(n);\Lambda )\to H^{*}(BSO(n);\Lambda )\to \Lambda [\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m}]}$

は単射である事が従う。この単射における${\displaystyle H^{*}(BO(n);\Lambda )}$の像は、前述のC_iの（偶数個または奇数個の）積が作用が誘導する写像、P_σが誘導する写像で不変でなければならないので、H^*(BSO(n),Λ)のときと同様の議論により、

${\displaystyle H^{*}(BO(n);\Lambda )\approx \Lambda [p_{1},\ldots ,p_{m}]}$

が従う。

前述の定理が成り立つ理由の説明は後回しにし、本節ではポントリャーギン類とオイラー類の性質を述べる。

ポントリャーギン類はチャーン類との間に以下の関係を満たす：

上の定理がΛ係数のコホモロジーに関するものである事に注意されたい。チャーン類は整数係数のコホモロジーに属するが、整数係数の場合は${\displaystyle c_{2j+1}(\xi _{\mathbb {C} })=0}$が成立するとは限らない。しかし${\displaystyle 2c_{2j+1}(\xi _{\mathbb {C} })=0}$である事は言える^{[注 16]}。実際、一般に複素ベクトルバンドル${\displaystyle \eta }$の複素共役バンドル${\displaystyle {\bar {\eta }}}$とすると、${\displaystyle c_{k}({\bar {\eta }})=(-1)^{k}c_{k}(\eta )}$が成立し、しかも実ベクトルバンドルの複素化${\displaystyle \xi _{\mathbb {C} }}$はその複素共役バンドル${\displaystyle {\bar {\xi }}_{\mathbb {C} }}$と同型なので、

${\displaystyle 2c_{2j+1}(\xi _{\mathbb {C} })=0}$

が成立する。

またチャーン類は整数係数のコホモロジーに属している事から、以下の系も従う：

${\displaystyle H^{*}(BO(n);\mathbb {Z} )\hookrightarrow H^{*}(BO(n);\Lambda )}$は単射ではない（位数2の元が0に移る為）が、この写像による${\displaystyle p_{i}}$の逆像として${\displaystyle (-1)^{j}c_{2j}(E_{\mathbb {C} })}$を選べば、${\displaystyle c_{2j}(E_{\mathbb {C} })}$が整数係数のコホモロジーに属するというのが上記の定理の意味である。以下、整数係数のコホモロジーにおけるポントリャーギン類を${\displaystyle p_{i}:=(-1)^{j}c_{2j}(E_{\mathbb {C} })}$によって定義する。

チャーン類の場合と同様以下の定義をする：

チャーン類に対するホイットニー和の公式からポントリャーギン類のホイットニー和の公式が従う：

上の定理では整数係数のコホモロジーを考えているので、両辺についている「2」を消すことはできない^{[注 16]}。${\displaystyle 2^{-1}\in \Lambda }$を満たす可換環Λを係数とするコホモロジーにおいては両辺に2の逆元をかける事で、

${\displaystyle p(\xi \oplus \eta )=p(\xi )\smile p(\eta )}$ in ${\displaystyle H^{*}(BO(n);\Lambda )}$

が成立する事がわかる。

また複素ベクトルバンドル${\displaystyle \omega }$から複素構造を忘れて（英語版）実ベクトルバンドルとみなしたものを${\displaystyle \xi }$の脱複素化（英: decomplexification、英: realification）と呼び、${\displaystyle \omega _{\mathbb {R} }}$と書く。${\displaystyle \omega _{\mathbb {R} }}$を再び複素化したベクトルバンドル${\displaystyle (\omega _{\mathbb {R} })_{\mathbb {C} }}$は${\displaystyle \omega \oplus {\bar {\omega }}}$と同型になる事が知られている^[47]。ここで${\displaystyle {\bar {\omega }}}$はωの共役バンドルである。 よって、チャーン類のホイットニー和の公式からチャーン多項式が${\displaystyle c((\omega _{\mathbb {R} })_{\mathbb {C} },1)}$${\displaystyle =c(\omega ,1)c({\bar {\omega }},1)}$${\displaystyle =c(\omega ,1)c(\omega ,-1)}$を満たす事がわかる。成分で書くと、

${\displaystyle \sum _{j=0}^{2n}c_{j}((\omega _{\mathbb {R} })_{\mathbb {C} })=\sum _{k=0}^{n}c_{k}(\omega )\sum _{\ell =0}^{n}(-1)^{\ell }c_{\ell }(\omega )=\sum _{j=0}^{2n}\sum _{s=0}^{j}(-1)^{s}c_{j-s}(\omega )c_{s}(\omega )}$

である。ここでnはωのファイバーの次元である。

右辺の形から、右辺の（4の倍数+2）次のコホモロジーは0になるので、左辺も（4の倍数+2）のコホモロジーは0で4の倍数次のみ生き残る。よって整数係数のポントリャーギン類の定義から以下が結論付けられる：

前節で述べたようにオイラー類は${\displaystyle \mu ~:~SO(2)^{m}\to SO(n)}$により誘導される写像を使って${\displaystyle \chi =B\mu ^{*}(\gamma _{1}\cdots \gamma _{m})}$と定義されていた。よって明らかに以下が成立する：

すでに述べたように、実ベクトルバンドル${\displaystyle \xi =(\pi ,X,E)}$に対し、${\displaystyle H^{*}(X;\mathbb {Z} _{2})}$において${\displaystyle c_{i}(\xi _{\mathbb {C} })=w_{i}(\xi )^{2}}$が成立する。よってポントリャーギン類の定義より以下が成立する。

オイラー類の満たす式「${\displaystyle p_{i}(\xi )=e(\xi )^{2}}$ in ${\displaystyle H^{*}(X;\Lambda )}$」と上記の「${\displaystyle p_{i}(\xi )=w_{2i}(\xi )^{2}}$ in ${\displaystyle H^{*}(X;\mathbb {Z} _{2})}$」から、整数係数コホモロジー${\displaystyle H^{*}(X;\mathbb {Z} )}$の元${\displaystyle {\bar {e}}(\xi )}$で、

${\displaystyle {\bar {e}}(\xi )=e(\xi )}$ in ${\displaystyle H^{*}(X;\Lambda )}$、${\displaystyle {\bar {e}}(\xi )=w_{n}(\xi )}$ in ${\displaystyle H^{*}(X;\mathbb {Z} _{2})}$、

を満たす元が一意に存在する。ここでnは${\displaystyle \xi }$のファイバーの次元である。このような${\displaystyle {\bar {e}}(\xi )}$を整数係数コホモロジーにおけるオイラー類と呼ぶ。以下、紛れがなければ${\displaystyle {\bar {e}}(\xi )}$の事を単に${\displaystyle e(\xi )}$と書く。

本項では、Λ係数のコホモロジーからスタートしてオイラー類を定義したため、整数係数コホモロジーにおけるオイラー類は上記のように人工的なもののになったが、トムの同型定理（英語版）を使って整数係数コホモロジーにおけるオイラー類を直接的に定義する事もできる。詳細はオイラー類の項目を参照。

X上の実ベクトルバンドル${\displaystyle \xi }$、${\displaystyle \eta }$に対し、それぞれのファイバーの次元をn、mとすると、ホイットニー和の公式から${\displaystyle w_{n+m}(\xi \oplus \eta )=w_{n}(\xi )\oplus w_{m}(\eta )}$ in ${\displaystyle H^{*}(X;\mathbb {Z} _{2})}$なので、前述したΛ係数のオイラー類の直和に対する振る舞いと合わせて、整数係数コホモロジーにおけるオイラー類に対しても下記の定理が成り立つことが分かる：

特性類は、反変性を持ち、本質的にコホモロジー論的な現象である。ベクトル束の切断は空間上の函数の一種で、変更を必要とする切断の存在から反変性を導く。ホモロジー論やホモトピー論は空間への写像を基礎とする共変な理論であり、反変な理論であるコホモロジー論はその後に発見された。障害理論（英語版）(obstruction theory)の一部として特性類の理論が生まれた1930年代において、ホモロジー論の「双対」な理論を構築しようとする大きな理由として特性類の理論がある。曲率不変量に対する特性類のアプローチは、一般化されたガウス・ボネの定理を証明するための理論を作ることが目的であった。

特性類の基礎が確立した1950年ごろ、当時知られていた基本的な特性類（スティーフェル・ホイットニー類やチャーン類やポントリャーギン類）は、古典線型群や極大トーラス(maximal torus)の構造を反映していることが明らかとなった。さらには、グラスマン多様体（英語版）(Grassmannian)のシューベルトの計算（英語版）(Schubert calculus)や、代数幾何学のイタリア学派（英語版）(Italian school of algebraic geometry)の業績の中にすでにチャーン類により記述されるべきものが存在することがわかった。

このような経緯で、特性類の基本的な構造は次のように認識された。空間 X とその上のベクトル束が与えられると、適切な線型群 G に対して、ホモトピーカテゴリ(homotopy category)の中で、X から分類空間 BG への写像が存在する。コホモロジー H*(BG) が計算することで、反変性により同じ次数の H*(X) の中にバンドルの特定類が定義される。ホモトピー論に対し、適切な情報は G の直交群(orthogonal group)やユニタリ群のようなコンパクトな部分群によりもたらされる。例えば、チャーン類は偶数次元の次数付きの成分を持った一つの類である。

幾何学においてさらなる構造を理論に組み込むこと有益である。1955年以降、K-理論やコボルディズム論（英語版）といった新たなコホモロジー理論に対しても、特性類の定義において文字 H を適切に変更するだけでそれらの理論における特性類を定義できる。

特性類は、後日、多様体の葉層構造（英語版）(foliation)の中でも発見された。（葉層に対してはある特異点を許容するように意味を変更すると）特性類はホモトピー論の中に分類空間の理論を持っている。

さらに20世紀後半における数学と物理学の再接近の結果として、ドナルドソンとコチックにより新しい特性類がインスタントン（英語版）(instanton)の理論の中で発見された。またチャーン(S. S. Chern)の観点と業績も重要であると認識された。チャーン・サイモンズ形式やチャーン・サイモンズ理論を参照のこと。

• チャーン類
• セグレ類（英語版）(Segre class)
• スティーフェル・ホイットニー類
• ポントリャーギン類
• オイラー類
• オイラー標数

• レクチャーノート
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• 論文
  • Armand Borel (2018年4月18日). “Topology of Lie Groups and Characteristic Classes”. Bulletin of the American Mathematical Society. 2022年11月25日閲覧。
• 書籍
  • 森田茂之 (2001/05/23). 微分形式の幾何学2. 岩波講座 現代数学の基礎. 14. 岩波書店. ISBN 9784000110143. https://www.iwanami.co.jp/book/b480194.html 
  • 森田茂之, 特性類と幾何学. 現代数学の展開, 岩波書店 ISBN 978-4-00-006292-3
  • R．ボット、L．W．トゥー 著、三村護 訳『微分形式と代数トポロジー』シュプリンガーフェアラーク東京、1996年10月1日。ISBN 978-4431707073。 
    • 原著：Raoul Bott; Loring W. Tu (1982/5/24). Differential Forms in Algebraic Topology. Graduate Texts in Mathematics. 82. Springer. ISBN 978-0387906133 
  • Date Husemoller (2014/5/14). Fibre Bundles Third Edition. Graduate Texts in Mathematics 20. Springer. ISBN 978-1475722635 
  • Milnor, John W.; Stasheff, Jim (1974). Characteristic classes. Annals of Mathematics Studies. 76. Princeton University Press, Princeton, NJ; University of Tokyo Press, Tokyo. ISBN 0-691-08122-0 
  • Armand Borel (1967). Topics in the Homology Theory of Fibre Bundles. Lecture Notes in Mathematics（英語版）. Springer. ISBN 978-3540039075 
  • Chern, Shiing-Shen (1995). Complex manifolds without potential theory. Springer-Verlag Press. ISBN 0-387-90422-0  ISBN 3-540-90422-0.

この書籍のappendix "Geometry of Characteristic Classes" には、特性類の考え方の発展について非常に整理された深い入門が記載されている。

• レクチャーノート
  • Stefan Friedl, Matthias Nagel, Patrick Orson, Mark Powell (2020年6月9日). “A survey of the foundations of four-manifold theory in the topological category” (pdf). arXive. 2021年5月20日閲覧。
  • J. P. May. “A PRIMER ON SPECTRAL SEQUENCES”. 2022年5月30日閲覧。
  • Brian Conrad. “Math 210C. Weyl group computations”. 2022年12月15日閲覧。
• 書籍
  • Tammo tom Dieck (2008/9/15). Algebraic Topology. Ems Textbooks in Mathematics. European Mathematical Society. ISBN 978-3037190487 
  • James F. Davis, Paul Kirk (2001/8/1). Lecture Notes in Algebraic Topology. Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society. ISBN 978-0821821602