P-行列

数学の分野におけるP-行列（P-ぎょうれつ、英: P-matrix）とは、すべての主小行列式が0より大きい複素正方行列のことである。これに関連する概念として、すべての主小行列式が0以上である P₀-行列がある。P₀-行列の類はP-行列の類の閉包である。

ケロッグの定理によれば、P-行列および P₀-行列の固有値は、以下に述べる意味で、負の実軸についての楔型の領域から離れている:

${\displaystyle \{u_{1},...,u_{n}\}}$ をn次元P-行列の固有値としたとき、次が成立する。

${\displaystyle |arg(u_{i})|<\pi -{\frac {\pi }{n}},i=1,...,n}$

${\displaystyle \{u_{1},...,u_{n}\}}$, ${\displaystyle u_{i}\neq 0}$, ${\displaystyle i=1,...,n}$ をn-次元 P₀-行列の固有値としたとき、次が成立する。

${\displaystyle |arg(u_{i})|\leq \pi -{\frac {\pi }{n}},i=1,...,n}$

正則なM-行列の類は、P-行列の類の部分集合である。P-行列かつZ-行列であるような全ての行列は、正則なM-行列である。十分行列（sufficient matrix）の類は、P-行列の別の一般化である。^[1]

ヤコビ行列式がP-行列であるような関数は、空間 Rⁿ の任意の直交領域上で単射である。

特に安定性理論における関連概念としては、P^(-)-行列（しばしば N−P-行列とも呼ばれる）が挙げられる。-A がP-行列となるような行列A のことを、P^(-)-行列と呼ぶ（P₀-行列についても同様）。スペクトル集合はσ(A )=-σ(-A ) であることより、それらの行列の固有値は正の実軸から離れている。

1. ^ Csizmadia, Zsolt; Illés, Tibor (2006). “New criss-cross type algorithms for linear complementarity problems with sufficient matrices” (pdf). Optimization Methods and Software 21 (2): 247–266. doi:10.1080/10556780500095009. MR2195759. http://www.cs.elte.hu/opres/orr/download/ORR03_1.pdf. 

• Csizmadia, Zsolt; Illés, Tibor (2006). “New criss-cross type algorithms for linear complementarity problems with sufficient matrices” (pdf). Optimization Methods and Software 21 (2): 247–266. doi:10.1080/10556780500095009. MR2195759. http://www.cs.elte.hu/opres/orr/download/ORR03_1.pdf. 
• David Gale and Hukukane Nikaido, “The Jacobian matrix and global univalence of mappings”, Math. Ann. 159:81-93 (1965) doi:10.1007/BF01360282
• Li Fang, “On the Spectra of P- and P₀-Matrices”, Linear Algebra and its Applications 119:1-25 (1989)
• R. B. Kellogg, “On complex eigenvalues of M and P matrices”, Numer. Math. 19:170-175 (1972) doi:10.1007/BF01402527

• 行列
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