Działanie algebraiczne

Działanie algebraiczne (operacja algebraiczna) – przyporządkowanie jednemu lub większej liczbie elementów (nazywanych argumentami lub operandami) jednego elementu (nazywanego wynikiem).

Argumentami i wynikami działań mogą być dowolne obiekty matematyczne: liczby (skalary), wektory, macierze, tensory, algebry, zdania logiczne, funkcje itp.

Do podstawowych działań algebraicznych należą tradycyjne działania arytmetyczne (tj. działania na liczbach)^[1], jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, podnoszenie do potęgi, pierwiastkowanie. Działania te – odpowiednio zdefiniowane – mogą być wykonane także na macierzach, wyrażeniach algebraicznych^[2], czy na innych elementach struktury algebraicznej, jak grupy czy pola^[3]. Działaniem algebraicznym jest też obliczanie iloczynu skalarnego, obliczanie potęgi całkowitej i wymiernej.

Działaniem algebraicznym nie jest zaś np. obliczanie pochodnej funkcji.

Ze względu na liczbę argumentów wyróżnia się:

• działania zeroargumentowe – mają zero argumentów,
• działania jednoargumentowe (unarne),
• działania dwuargumentowe (binarne).

Dziedziną działania jest iloczyn kartezjański zbiorów, z których bierze się argumenty.

Przeciwdziedziną działania jest zbiór, w którym znajdują się wyniki działania.

Działanie z każdym elementem dziedziny wiąże dokładnie jeden element przeciwdziedziny.

Dany zbiór z określonymi na nim działaniami algebraicznymi nazywa się algebrą ogólną (krótko: algebrą). Działania zdefiniowane na tym zbiorze nazywa się „sygnaturą”. Badaniem działań w najogólniejszym sensie zajmuje się algebra uniwersalna.

(1) Definicja: Działanie ${\displaystyle \omega }$ to funkcja postaci

${\displaystyle \omega \colon X_{1}\times \ldots \times X_{n}\to Y.}$

(2) Zbiór ${\displaystyle X_{1}\times \ldots \times X_{n}}$ nazywa się dziedziną działania.

(3) Zbiór ${\displaystyle Y}$ nazywa się przeciwdziedziną działania.

(4) Liczbę argumentów ${\displaystyle n}$ nazywa się typem, arnością lub argumentowością działania:

• działanie jednoargumentowe ma argumentowość / arność równą ${\displaystyle 1,}$
• działanie dwuargumentowe ma argumentowość / arność ${\displaystyle 2,}$
• działanie zeroargumentowe jest po prostu elementem przeciwdziedziny ${\displaystyle Y,}$
• działanie o arności ${\displaystyle n}$ nazywa się działaniem ${\displaystyle n}$-arnym lub ${\displaystyle n}$-argumentowym.

Np. dodawanie w zbiorze liczb rzeczywistych to działanie 2-argumentowe, której dziedziną jest iloczyn kartezjański ${\displaystyle R\times R,}$ tj.

${\displaystyle +\colon R\times R\to R.}$

Uwaga:

Powyższa definicja działania obejmuje tzw. działania skończone, tzn. odnosi się do skończonej liczby argumentów. Istnieją rozszerzenia, w których argumentowość jest nieskończoną liczbą porządkową lub kardynalną, a nawet dowolnym zbiorem indeksującym argumenty.

Argumentami i wynikami działań mogą być dowolne obiekty matematyczne: liczby (skalary), wektory, macierze, tensory, algebry itp. W zależności od rodzaju argumentów i wyników można zdefiniować różne działania, np.

• działania na liczbach (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie)
• działania na wektorach (dodawanie, odejmowanie, mnożenie skalarne wektorów, mnożenie wektorowe, mnożenie wektora przez skalar)
• działania na zbiorach:
  • działania jednoargumentowe, np. znajdowanie dopełnienia zbioru
  • działania dwuargumentowe, np. tworzenie sumy i iloczynu zbiorów
• działania na zdaniach logicznych:
  • jednoargumentowe: negacja („nie”)
  • dwuargumentowe: koniunkcja („i”), alternatywa („lub”), implikacja, równoważność
• działania na macierzach:
  • działania wewnętrzne (wynikiem działania jest macierz)
    • dodawanie macierzy
    • mnożenie macierzy
    • mnożenie przez skalar
    • podnoszenie do potęgi
    • znajdowanie macierzy odwrotnej
    • znajdowanie eksponenty macierzy
  • działania zewnętrzne (wynikiem działania jest skalar)
    • znajdowanie śladu macierzy
    • znajdowanie wyznacznika macierzy
• działania na funkcjach:
  • przyporządkowanie funkcji liczby (funkcjonał), np. całka oznaczona
  • dodawanie funkcji ${\displaystyle f+g}$
  • mnożenie funkcji ${\displaystyle f\cdot g}$
  • składanie funkcji, splot funkcji

– w wyniku ostatnich 3 działań otrzymuje się inną funkcję.

Np. za pomocą mnożenia macierzy opisujących obroty otrzymuje się macierz odpowiadającą jakiemuś innemu obrotowi

(1) Działanie jest rodzajem operatora. Można mówić „operator dodawania” – wyrażenie to podkreśla, iż działanie jest pewną operacją abstrakcyjną, funkcją,

(2) Działanie ${\displaystyle n}$-argumentowe jest ${\displaystyle (n+1)}$-argumentową relacją, która jest funkcyjna na swoich pierwszych ${\displaystyle n}$ dziedzinach.

Działania mogą przejawiać pewne szczególne własności, np.

• alternatywność,
• antyprzemienność,
• idempotentność,
• łączność,
• przemienność,
• itp.

Im więcej własności mają działania w danym zbiorze, tym zbiór tworzy bardziej subtelną strukturę algebraiczną.

(1) Działanie wewnętrzne – funkcja, która przyporządkowuje n elementom danego zbioru jeden element tego zbioru; dziedziną jest iloczyn kartezjański jednej lub większej liczby egzemplarzy przeciwdziedziny^[4]; mówi się wtedy, że zbiór jest zamknięty ze względu na to działanie.

(2) Działanie zewnętrzne – funkcja, które przyporządkowują n elementom danego zbioru jeden element innego zbioru (zob. Przykłady).

Kiedy nie ma operatora pomiędzy zmiennymi lub wyrażeniami, albo kiedy występuje znak „${\displaystyle \times }$”, implikowany jest symbol mnożenia.

Np. ${\displaystyle 3\times x^{2}}$ pisane jest jako ${\displaystyle 3x^{2},}$ a ${\displaystyle 2\times x\times y}$ jako ${\displaystyle 2xy}$^[5].

Czasami symbole mnożenia zastępowane są przez kropkę, więc ${\displaystyle x\times y}$ pisane jest jako ${\displaystyle x\cdot y.}$

W nieformatowanych dokumentach, językach programowania i kalkulatorach do definiowania mnożenia używa się symbolu pojedynczej gwiazdki, na przykład działanie ${\displaystyle 3x}$ pisane jest jako ${\displaystyle 3*x}$^[6].

W działaniach dzielenia zamiast znaku dzielenia „${\displaystyle \div }$”, korzysta się z poziomej linii, na przykład ${\displaystyle {\frac {2}{x+4}}.}$

W tekstach nieformatowanych oraz w językach programowania używa się ukośnika, np. ${\displaystyle 5/(x+4).}$

Wykładniki potęg zapisywane są w indeksie górnym po prawej stronie podstawy, np. ${\displaystyle x^{2}.}$

W tekstach nieformatowanych i w języku znaczników TeX symbolem karety ^ oznacza się wykładniki potęg, dlatego ${\displaystyle x^{2}}$ pisane jest jako x^2^[7][8].

W językach programowania takich jak Ada^[9], Fortran^[10], Perl^[11], Python^[12] i Ruby^[13] używa się podwójnej gwiazdki, więc ${\displaystyle x^{2}}$ zapisuje się jako ${\displaystyle x**2.}$

Znak plus-minus, ${\displaystyle \pm ,}$ używa się jako skrótu do zapisywania dwóch wyrażeń za pomocą jednego, określając jedno wyrażenie ze znakiem dodawania, a drugie ze znakiem odejmowania. Przykładowo ${\displaystyle y=x\pm 1}$ przedstawia dwa równania ${\displaystyle y=x+1}$ oraz ${\displaystyle y=x-1.}$ Czasami plus-minus wykorzystywany jest do zapisu dodatniego lub ujemnego wyrażenia tak jak ${\displaystyle \pm x.}$

Element neutralny działania (o ile istnieje) jest działaniem zeroargumentowym.

Np.

• zero względem dodawania dla
  • liczb naturalnych (monoid),
  • całkowitych ( pierścień),
  • wymiernych, rzeczywistych, zespolonych ( ciała),

• jedynka względem mnożenia dla
  • dodatnich liczb naturalnych (półgrupa),
  • liczb całkowitych (pierścień z jedynką),
  • wymiernych, rzeczywistych, zespolonych (ciała),
  • w kwaternionach (pierścień z dzieleniem),
• wektor zerowy (dla dodawania) w przypadku przestrzeni liniowych czy algebr liniowych

Za działania jednoargumentowe można uważać funkcje ustalonego zbioru w siebie, np. silnię, funkcje trygonometryczne, funkcję wykładniczą (o ustalonej podstawie), potęgowanie (przy ustalonym wykładniku) i pierwiastkowanie (ustalonego stopnia).

Element odwrotny względem działania dwuargumentowego w dowolnej strukturze algebraicznej (o ile istnieje) jest działaniem jednoargumentowym.

Np. w dowolnej grupie (w tym dodawania w pierścieniach, ciałach, przestrzeniach liniowych czy mnożenia w ciałach; zob. grupa addytywna, grupa multiplikatywna).

Działania dwuargumentowe są zasadniczym przedmiotem badań algebry uniwersalnej; strukturę złożoną ze zbioru i działania dwuargumentowego na nim określonego nazywa się grupoidem. Nałożenie dodatkowych warunków na działanie daje inne struktury.

• półgrupa – grupoid z działaniem łącznym^[14],
• półgrupa z działaniem zeroargumentowym (element neutralny) – monoid,
• monoid z działaniem jednoargumentowym odwracania elementu nazywa się grupą,

czyli grupa to zbiór z trzema działaniami: dwu-, jedno- i zeroargumentowym (grupowe, odwracanie i element neutralny).

Grupę można także określić jako zbiór z jednym działaniem dwuargumentowym (odwrotność powyższego działania grupowego, w notacji multiplikatywnej nazywane jest „dzieleniem”, a w addytywnej – „odejmowaniem”)^[15].

Grupę można również scharakteryzować jako zbiór z rodziną działań jednoargumentowych: mnożeń lewostronnych każdego elementu przez dowolny inny.

Bada się również zbiory z dwoma działaniami, zwykle związanymi ze sobą warunkiem rozdzielności. Np. pierścień to zbiór

• z dwoma działaniami dwuargumentowymi (łączne i przemienne dodawanie oraz łączne mnożenie – rozdzielne względem siebie),
• jednym jednoargumentowym (branie elementu przeciwnego),
• jednym zeroargumentowym (zero – element neutralny dodawania)^[16],
• dodając działanie zeroargumentowe w postaci elementu neutralnego mnożenia (jedynka) otrzymuje się pierścień z jedynką,
• żądając przemienności mnożenia uzyskuje się pierścień przemienny,
• pierścień z jedynką, w którym określono działanie odwracania elementu nazywa się pierścieniem z dzieleniem,
• jeżeli mnożenie jest przemienne, to taki pierścień nazywa się ciałem.

Innymi słowy: zbiór ze strukturą grupy przemiennej i ten sam zbiór bez wyróżnionego elementu (zera) ze strukturą półgrupy, których działania są względem siebie rozdzielne tworzy pierścień. Zastąpienie półgrupy monoidem, grupą albo grupą przemienną daje odpowiednio pierścień z jedynką, pierścień z dzieleniem oraz ciało.

Przykładem działania trójargumentowego jest iloczyn mieszany określony na trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej w tę przestrzeń^[17], w której określone są działania:

• iloczyn skalarny (przemienny, w dowolnym wymiarze)
• iloczyn wektorowy (antyprzemienny, tylko w trzecim wymiarze^[18]).
• powyższe dwa działania służą zdefiniowaniu iloczynu mieszanego

Działania zewnętrzne to np.

• funkcje zbioru w inny (działania jednoargumentowe),
• mnożenie przez skalar w algebrach liniowych, przestrzeniach liniowych czy modułach (grupy przemienne ze wspomnianym działaniem, rozdzielnym względem działania grupowego) czy ogólniej: działanie grupy na zbiorze.

Zobacz hasło działanie w Wikisłowniku

Zobacz hasło operacja w Wikisłowniku

• element neutralny, element odwrotny
• struktura algebraiczna
• relacja, funkcja

• A.G. Kurosz: Obszczaja algebra: lekcii 1969–1970 uczebnogo goda. Wyd. 1. Moskwa: Nauka, 1974, s. 11. (ros.).

• Wiktor Bartol, Jak działają działania, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej (MiNI PW), kanał „Archipelag Matematyki” na YouTube, 27 września 2017 [dostęp 2024-09-04].