Szereg 1 + 1 + 1 + 1 + …

Szereg 1 + 1 + 1 + 1 + … – szereg rozbieżny, czyli niemający skończonej sumy według podstawowej definicji. Jego sumy cząstkowe rosną do nieskończoności. Można go zapisywać również jako ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n^{0}.}$

Jeśli taki szereg pojawia się podczas analizy zjawisk fizycznych, może on być czasami interpretowany przez zastosowanie regularyzacji funkcją dzeta, tj. w tym przypadku określenie wartości funkcji dzeta Riemanna w punkcie ${\displaystyle s=0}$

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1-2^{1-s}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}.}$

Oba wyrażenia podane wyżej nie są „wyliczalne” dla wartości zero, dlatego też stosuje się przedłużenie analityczne funkcji dzeta Riemanna

${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s).}$

Dzięki niemu (wiedząc, że ${\displaystyle \Gamma (1)=1}$) otrzymujemy:

${\displaystyle \zeta (0)={\frac {1}{\pi }}\lim _{s\to 0}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \zeta (1-s)={\frac {1}{\pi }}\lim _{s\to 0}\ \left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {\pi ^{3}s^{3}}{48}}+\dots \right)\ \left(-{\frac {1}{s}}+\dots \right)=-{\frac {1}{2}},}$

gdzie rozwinięcie w szereg potęgowy ${\displaystyle \zeta (s)}$ w otoczeniu ${\displaystyle s=1}$ zachodzi, ponieważ ${\displaystyle \zeta (s)}$ ma w nim pojedynczy biegun z residuum równym 1. W tym sensie ${\displaystyle 1+1+1+1+\dots =\zeta (0)=-{\tfrac {1}{2}}}$^[1].

• szereg Grandiego
• szereg 1 + 2 + 3 + 4 + …
• szereg 1 + 2 + 4 + 8 + …