Szereg Grandiego

Szereg Grandiego – szereg naprzemienny ${\displaystyle 1-1+1-1+\dots }$ zapisywany również jako

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}}$

Nazwa szeregu pochodzi od Guido Grandiego, który „upamiętnił” swoje przemyślenia na ten temat w 1703 roku. Uważał on, że suma tego szeregu wynosi ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}.}$ Leibniz zgadzał się z opinią Grandio w liście do Christiana Wolffa z 1713. Dodatkowo określił, że ciąg ten musi posiadać sumę ${\displaystyle 0}$, gdy szereg ma parzystą liczbę elementów oraz ${\displaystyle 1,}$ gdy nieparzystą. Dlatego obie wartości były równie prawdopodobne dla sumy nieskończonej liczby elementów. Stąd wartość ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$^[1]. Mimo że szereg rozbieżny z definicji nie posiada sumy, to taki sam wynik daje sumowanie metodą Cesàro.

Aby znaleźć sumę szeregu

${\displaystyle 1-1+1-1+1-1+1-1+\dots }$

Grandi próbował grupować sąsiednie wyrazy szeregu, aby znaleźć rozwiązania cząstkowe

${\displaystyle (1-1)+(1-1)+(1-1)+\dots =0+0+0+\dots =0.}$

Z drugiej strony, podobna procedura rozmieszczania nawiasów prowadzi do zupełnie innego wyniku:

${\displaystyle 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\dots =1+0+0+0+\dots =1.}$

Stąd wynika, że w zależności od umieszczenia nawiasów w szeregu, ostateczny wynik może przyjąć jedną z dwóch „wartości”: 0 lub 1.

Stosując przekształcenie podobne do tych, jakie są stosowane dla zbieżnych szeregów geometrycznych, można uzyskać trzecią wartość:

${\displaystyle S=1-1+1-1+\dots ,}$ czyli

${\displaystyle 1-S=1-(1-1+1-1+\ldots )=1-1+1-1+\ldots =S,}$

która w wyniku daje ${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}.}$ Do tego samego wyniku można dojść obliczając ${\displaystyle -S,}$ odejmując wynik od ${\displaystyle S}$ i rozwiązując ${\displaystyle 2S=1}$^[2].

Powyższe przekształcenie nie rozważa, co taka suma właściwie oznacza. Na podstawie wszystkich powyższych metod można wyciągnąć dwa następujące wnioski:

• szereg ${\displaystyle 1-1+1-1+\ldots }$ nie ma sumy^[2][3]
• ..., ale jego suma „powinna” wynosić ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$^[3].

W rzeczywistości oba te twierdzenia można dokładnie i formalnie udowodnić, ale tylko dzięki dobrze zdefiniowanym matematycznym koncepcjom, które powstały w XIX wieku. Zanim to nastąpiło, odpowiedzi na te pytania były „niekończącymi się” i „gwałtownymi” dyskusjami między matematykami^[4][5].

• szereg 1 + 1 + 1 + 1 + …

• Harry F.H.F. Davis Harry F.H.F., Fourier Series and Orthogonal Functions, Dover, maj 1989, ISBN 0-486-65973-9  (ang.). Brak numerów stron w książce
• KeithK. Devlin KeithK., Mathematics, the science of patterns: the search for order in life, mind, and the universe, Scientific American Library, 1994, ISBN 0-7167-6022-3 .
• MorrisM. Kline MorrisM., Euler and Infinite Series, „Mathematics Magazine”, 56 (5), 1983, s. 307–314, DOI: 10.2307/2690371, JSTOR: 2690371 .
• KonradK. Knopp KonradK., Theory and Application of Infinite Series, Dover, 1990, ISBN 0-486-66165-2 .
• Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.