Liczby Armstronga

Liczba Armstronga (narcystyczna) – n-cyfrowa liczba naturalna, która jest sumą swoich cyfr podniesionych do potęgi ${\displaystyle n.}$

Niech ${\displaystyle a=\sum _{k=1}^{n}a_{k}b^{k-1}}$ będzie liczbą naturalną z reprezentacją ${\displaystyle a_{n}a_{n-1}\ldots a_{1}}$ w systemie o podstawie ${\displaystyle b}$ (tak więc ${\displaystyle 0\leqslant a_{k}<b}$ dla ${\displaystyle k=1,\dots ,n}$). Jeśli dla pewnej liczby naturalnej ${\displaystyle m}$ zachodzi

${\displaystyle a=\sum _{i=1}^{m}{a_{i}}^{m},}$

to powiemy, że ${\displaystyle a}$ jest m-narcystyczną liczbą w bazie ${\displaystyle b}$.

Liczba narcystyczna to n-cyfrowa n-narcystyczna liczba w bazie dziesiętnej. Tak więc liczby narcystyczne to n-cyfrowe liczby naturalne spełniające warunek:

${\displaystyle \sum \limits _{1\leqslant k\leqslant n}a_{k}^{n}=\sum \limits _{1\leqslant k\leqslant n}a_{k}10^{k-1},}$

gdzie: ${\displaystyle a_{n},a_{n-1},\dots ,a_{1}}$ to kolejne cyfry liczby (od najbardziej znaczącej do najmniej znaczącej).

• Istnieją dokładnie cztery liczby 3-narcystyczne:

${\displaystyle 153=1^{3}+5^{3}+3^{3}}$

${\displaystyle 370=3^{3}+7^{3}+0^{3}}$

${\displaystyle 371=3^{3}+7^{3}+1^{3}}$

${\displaystyle 407=4^{3}+0^{3}+7^{3}}$

• Istnieją dokładnie trzy liczby 4-narcystyczne:

${\displaystyle 1634=1^{4}+6^{4}+3^{4}+4^{4}}$

${\displaystyle 8208=8^{4}+2^{4}+0^{4}+8^{4}}$

${\displaystyle 9474=9^{4}+4^{4}+7^{4}+4^{4}}$

• Istnieją dokładnie trzy liczby 5-narcystyczne:

${\displaystyle 54748=5^{5}+4^{5}+7^{5}+4^{5}+8^{5}}$

${\displaystyle 92727=9^{5}+2^{5}+7^{5}+2^{5}+7^{5}}$

${\displaystyle 93084=9^{5}+3^{5}+0^{5}+8^{5}+4^{5}}$

• Istnieje dokładnie jedna liczba 6-narcystyczna:

${\displaystyle 548834=5^{6}+4^{6}+8^{6}+8^{6}+3^{6}+4^{6}}$

• Istnieją dokładnie cztery liczby 7-narcystyczne:

${\displaystyle 1741725=1^{7}+7^{7}+4^{7}+1^{7}+7^{7}+2^{7}+5^{7}}$

${\displaystyle 4210818=4^{7}+2^{7}+1^{7}+0^{7}+8^{7}+1^{7}+8^{7}}$

${\displaystyle 9800817=9^{7}+8^{7}+0^{7}+0^{7}+8^{7}+1^{7}+7^{7}}$

${\displaystyle 9926315=9^{7}+9^{7}+2^{7}+6^{7}+3^{7}+1^{7}+5^{7}}$

• Jeśli ${\displaystyle x}$ jest liczbą narcystyczną, to

${\displaystyle 10^{n-1}\leqslant x\leqslant n9^{n}.}$

Ponieważ ${\displaystyle 10^{n-1}>n9^{n}}$ dla ${\displaystyle n\geqslant 61,}$ to z powyższych nierówności wnioskujemy, że istnieje skończona ilość liczb Armstronga. Pokazano, że istnieje dokładnie 88 takich liczb. Największa z nich to 115132219018763992565095597973971522401, składająca się z 39 cyfr.

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Narcissistic Number, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-07-02].