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 Nota: Não confundir com Soma de Gauss (en:Gauss sum)

Conta-se que um professor de Matemática mandou aos alunos de sua turma que somassem de 1 a 100 como forma de castigo. O professor ficou surpreso quando um dos alunos, Carl Friedrich Gauss, havia feito a soma corretamente em pouco tempo de uma outra forma.

Eis a ideia de Gauss:

Soma de 1 a 100: ${\displaystyle S=1+2+3+\dots +99+100}$

A ordem não altera a soma: ${\displaystyle S=100+99+98+\dots +2+1}$

Soma-se de membro a membro as duas igualdades:

${\displaystyle S=1+2+3+\dots +99+100}$

${\displaystyle S=100+99+98+\dots +2+1}$

______________________

${\displaystyle S+S=(1+100)+(2+99)+(3+98)+\dots +(99+2)+(100+1)}$

${\displaystyle 2S=101+101+101+101+\dots +101}$ (100 vezes)

${\displaystyle 2S=101*100}$

${\displaystyle S=[100(100+1)]/2}$

${\displaystyle S=5050}$

Generalizando:

${\displaystyle S=1+2+3+\dots +(n-2)+(n-1)+n}$

${\displaystyle 2S=(n+1)+(n+1)+(n+1)+\dots +(n+1)}$ (n vezes)

${\displaystyle 2S=n(n+1)}$

${\displaystyle S=[n(n+1)]/2}$

Logo, ${\displaystyle 1+2+3+\dots +n=[n(n+1)]/2}$

1) ${\displaystyle S=1+2+3+\dots +68+69+70}$

${\displaystyle S=[70(70+1)]/2}$

${\displaystyle S=(70*71)/2}$

${\displaystyle S=2485}$

2)${\displaystyle M=41+42+43+\dots +150}$

Neste caso existem duas formas de encontrar a resposta.

1ª forma : ${\displaystyle M=41+42+43+\dots +150}$

${\displaystyle M=(40+1)+(40+2)+(40+3)+\dots +(40+110)}$

${\displaystyle M=(40+40+40+\dots +40)+(1+2+3+\dots +110)}$

${\displaystyle M=(40*110)+[(110*111)/2]}$

${\displaystyle M=4400+6105}$

${\displaystyle M=10505}$

2ª forma: ${\displaystyle M=41+42+43+\dots +150}$

${\displaystyle M=(1+2+3+\dots +150)-(1+2+3+\dots +40)}$

${\displaystyle M=[(150*151)/2]-[(40*41)/2]}$

${\displaystyle M=11325-820}$

${\displaystyle M=10505}$

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