Крутильный маятник

Крути́льный ма́ятник (также торсио́нный ма́ятник, враща́тельный ма́ятник) — механическая система, представляющая собой тело с упругим элементом, которое может вращаться вокруг одной оси и обладающее лишь одной степенью свободы: вращением вокруг этой оси, задаваемой подвесом. Если при повороте тела в упругом элементе возникает момент силы ${\displaystyle M,}$ пропорциональный углу поворота ${\displaystyle \varphi }$ с обратным знаком к углу поворота, ${\displaystyle (M=-\kappa \varphi ),}$ причём, если силы трения в системе малы, то тело может колебаться по гармоническому закону с периодом ${\displaystyle T:}$

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{\kappa }}},}$

где ${\displaystyle I}$ — момент инерции тела относительно оси кручения,

${\displaystyle \kappa }$ — вращательный коэффициент жёсткости упругого элемента.

Крутильный маятник специальной конструкции представляет собой очень чувствительный к малым силам физический прибор. Именно с помощью крутильного маятника изучается, например, гравитационное взаимодействие тел в лаборатории и проверяется закон всемирного тяготения на субмиллиметровом масштабе.

Крутильным маятником является балансир — деталь спускового механизма механических часов, вращательные колебания которого задают темп ход часов и определяют точность их хода.

В 2005 году было опубликовано сообщение о создании крутильного маятника, торсионный подвес которого выполнен из углеродной нанотрубки со стенкой толщиной в один атомный слой^[1][2].

Обозначения

Обозначение	Размерность	Определение
${\displaystyle \theta }$	рад	Угол отклонения от положения равновесия
${\displaystyle I}$	кг·м2	Момент инерции
${\displaystyle \sigma }$	Дж·с·рад−1	Коэффициент вязкого трения
${\displaystyle \kappa }$	Н·м·рад−1	Торсионная жёсткость подвеса
${\displaystyle \tau }$	Н·м	Крутящий момент
${\displaystyle f_{n}}$	Гц	Собственная частота колебаний маятника без трения
${\displaystyle T_{n}}$	с	Период собственных колебаний маятника без трения
${\displaystyle \omega _{n}}$	рад·с−1	Собственная частота осциллятора без трения
${\displaystyle f}$	Гц	Собственная частота колебаний маятника с трением
${\displaystyle \omega }$	рад·с−1	Круговая частота собственных колебаний с трением
${\displaystyle \alpha }$	с−1	Величина обратная постоянной времени затухания колебаний
${\displaystyle \varphi }$	рад	Фаза колебаний
${\displaystyle L}$	m	Расстояние от оси вращения до точки приложения силы

Крутильные весы, крутильные маятники и балансиры часов по сути являются крутильными гармоническими осцилляторами, которые могут испытывать гармонические вращательные колебания вокруг оси торсионного упругого элемента. Математически такие системы аналогичны пружинным осцилляторам — грузикам с пружиной, закреплённой с одного конца. Общее дифференциальное уравнение движения крутильного осциллятора:

${\displaystyle I{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\sigma {\frac {d\theta }{dt}}+\kappa \theta =\tau (t).}$

Если степень затухания (демпфирования) небольшое, что математически означает ${\displaystyle \sigma \ll {\sqrt {\frac {\kappa }{I}}},}$ частота колебаний крутильного осциллятора очень близка к собственной резонансной частоте системы ${\displaystyle f_{n}:}$

${\displaystyle f_{n}={\frac {\omega _{n}}{2\pi }}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {\kappa }{I}}}.}$

Выражение для периода колебаний:

${\displaystyle T_{n}={\frac {1}{f_{n}}}={\frac {2\pi }{\omega _{n}}}=2\pi {\sqrt {\frac {I}{\kappa }}}.}$

Общее решение в случае отсутствия внешней вынуждающей силы, то есть ${\displaystyle \tau (t)=0}$ называется решением для переходного процесса:

${\displaystyle \theta =Ae^{-\alpha t}\cos {(\omega t+\varphi )}~,}$

где ${\displaystyle \alpha =\sigma /2I;~}$ ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\omega _{n}^{2}-\alpha ^{2}}}={\sqrt {\kappa /I-(\sigma /2I)^{2}}}~.}$

• Эксперимент Кавендиша
• Крутильные весы
• Торсион