Мать — Софья Наумовна Лейпунская (урождённая Шпанина, 1885—1961), сирота, воспитывалась у родственников, выпускница гимназии.
Брат — Овсей Ильич Лейпунский (1909—1990), советский физик, участник атомного проекта СССР. Основоположник способа синтеза алмазов, применяемого сейчас во всем мире. Один из создателей научно-методической базы радиометрии и дозиметрии проникающих излучений, автор (совместно с Я. Б. Зельдовичем) теории внутренней баллистики реактивных пороховых снарядов («Катюш»), разработчик современных видов твердого топлива для ракет.
Сестра — Дора Ильинична Лейпунская (1912—1977), советский физик, участник атомного проекта СССР. Заведующая лабораторией в секретном НИИ-9, где занималась технологией плутония и дозиметрами. Во ВНИИ ядерной геохимии и геофизики разработала метод количественного нейтронно-активационного анализа для разведки полезных ископаемых.
Жена — Антонина Фёдоровна Прихотько (1906—1995), советский физик. Директор Физического института в Киеве. Академик АН УССР.
Работал с 1918 посыльным, рабочим, помощником мастера, закончил заочно Рыбинский механический техникум (г. Рыбинск).
В 1921 г. поступил на физико-механический факультет Петроградского политехнического института.
Весной 1923 г. А. Ф. Иоффе привёл его в числе шести студентов в свою лабораторию в ЛФТИ.
В 1920-х задерживался органами ГПУ в Ленинграде, причины неизвестны.
В июле — августе 1928 года вместе с другими молодыми физтеховцами выехал в Германию на средства, заработанные Иоффе за консультации компании «General Electric» (США).
В октябре 1928 переводится в харьковский ФТИ, где с марта 1930 был заместителем директора, а с 1933 — директором. Руководил также ядерной лабораторией УФТИ[1].
В 1937 исключён из рядов ВКП(б) «за пособничество врагам народа» и снят с должности директора. Арестован в Харькове 14 июня 1938 (т. н. «дело УФТИ»), на момент ареста проживал в Харькове (Юмовский туп., д. 6, кв.1 — высоковольтный корпус УФТИ).
Содержался в тюрьме Киева. В связи с истечением срока следствия (2 месяца) и отсутствием достаточных данных для предания суду (А. Вайсберг и Ф. Хоутерманс не дали показаний на Лейпунского) по постановлению начальника 1-го отделения 3-го отдела УГБ НКВД УССР Ровинского от 8 августа 1938 дело в отношении Лейпунского было прекращено и он был освобожден[2][3].
С 1939 года А. И. Лейпунский — руководитель исследований по проблеме «Изучение деления урана», а также (с 1940 года) — по проектированию циклотрона. Принимал участие в работе Ядерной и Урановой комиссий АН СССР. В 1941—1944 — директор Института физики и математики АН УССР, где занимается оборонными задачами, в 1944 создаёт там отдел ядерной физики. В 1944—1949 — директор Института физики АН УССР, также завсектором ИТЭФ АН СССР, завкафедрой и декан инженерно-физического факультета Московского Механического Института (ММИ).
В 1946 году был восстановлен в партии[2], в 1946-1947 заведовал сектором лаборатории №3, которой руководил академик А.И. Алиханов. В лаборатории №3 в то время создавался тяжеловодный реактор на природном уране и строился уникальный ускоритель заряженных частиц (разработка прототипного ускорителя с энергией 10 МэВ началась по предложениею А.И.Лейпунского), в 1946-1949 был заместителем начальника 9 управления НКВД[4] (http://elib.biblioatom.ru/text/kruglov_shtab-atomproma_1998/go,72/) , с 1949 года возглавлял отдел Обнинского физико-энергетического института[3].
С 1950 года — научный руководитель программы создания ядерных реакторов на быстрых нейтронах.
В Обнинске он стал научным руководителем проекта реактора с жидкометаллическим теплоносителем, который лёг в основу принципиально новой двигательной установки подводной лодки К-27[5].
В Обнинске им была создана школа физиков-ядерщиков.
Горобец Б. С. Секретные физики из Атомного проекта СССР: Семья Лейпунских. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: Эдиториал УРСС, 2009. — 312 с. — ISBN 978-5-397-00182-3
Горобец, Б. С. Секретные физики из Атомного проекта СССР: Семья Лейпунских.. — 3-е изд., испр. и доп. — М. : Ленанд, 2015. — 312 с. — (Наука в СССР. Через тернии к звездам). — ISBN 978-5-9710-1363-1.
Круглов, А.К. Штаб Атомпрома- М: ЦНИИ АТОМИНФОРМ , 1998.- 496 с. - ISBN 5-85165-333-7
Храмов Ю. А. Лейпунский Александр Ильич // Физики : Биографический справочник / Под ред. А. И. Ахиезера. — Изд. 2-е, испр. и доп. — М. : Наука, 1983. — С. 160. — 400 с. — 200 000 экз.
Водкин, Виктор.Завидная судьба. Физик А. И. Лейпунский (1903–1972) : [Статья публиковалась в газете «Взгляд» (Сан-Франциско)] // Троицкий вариант — Наука : журн. — 2018. — № 19 (263) (25 сентября). — С. 10.
Алексей Александрович Мельников.Быстрые нейтроны Александра Лейпунского (неопр.). Научно-культурологический журнал Relga (10 февраля 2019). Дата обращения: 22 февраля 2019. Архивировано 22 февраля 2019 года.