Портфельная теория Марковица

Портфельная теория Марковица (англ. mean-variance analysis — подход, основанный на анализе ожидаемых средних значений и вариаций случайных величин) — разработанная Гарри Марковицем методика формирования инвестиционного портфеля, направленная на оптимальный выбор активов, исходя из требуемого соотношения доходность/риск. Сформулированные им в 1950-х годах идеи составляют основу современной портфельной теории^[1][2].

Основные положения портфельной теории были сформулированы Гарри Марковицем при подготовке им докторской диссертации в 1950—1951 годах.

Рождением же портфельной теории Марковица считается опубликованная в «Финансовом журнале» в 1952 году статья «Выбор портфеля»^[3]. В ней он впервые предложил математическую модель формирования оптимального портфеля и привёл методы построения портфелей при определённых условиях^[4]. Основная заслуга Марковица состояла в предложении вероятностной формализации понятий «доходность» и «риск», что позволило перевести задачу выбора оптимального портфеля на формальный математический язык^[5]. Надо отметить, что в годы создания теории Марковиц работал в RAND Corp., вместе с одним из основателей линейной и нелинейной оптимизации — Джорджем Данцигом и сам участвовал в решении указанных задач. Поэтому собственная теория, после необходимой формализации, хорошо ложилась в указанное русло.

Марковиц постоянно занимается усовершенствованием своей теории и в 1959 году выпускает первую посвящённую ей монографию «Выбор портфеля: эффективная диверсификация инвестиций»^[6].

В 1990 году, когда Марковицу вручают Нобелевскую премию, выходит книга «Средне-дисперсионный анализ при выборе портфеля и рынка капитала»^[7].

После проведённой Марковицем формализации, с математической точки зрения задача по формированию оптимального портфеля представляла собой задачу квадратической оптимизации при линейных ограничениях^[5]. Этот класс задач, является одним из наиболее изученных классов оптимизационных задач, для которых существует большое число эффективных алгоритмов^[8].

Для построения пространства возможных портфелей Марковиц предложил использовать класс активов, вектор их средних ожидаемых доходностей и матрицу ковариаций^[5].

На основе этих данных строится множество возможных портфелей с различными соотношениями доходность-риск^[5].

Так как в основе анализа лежат два критерия, менеджер выбирает портфели^[5]:

• Либо поиском эффективных, или неулучшаемых решений. В этом случае любое другое решение, лучше найденных по одному параметру обязательно будет хуже по другому.
• Либо выбирая главный критерий (например, доходность должна быть не ниже определённой величины) остальные используя лишь в качестве критериальных ограничений.
• Либо задавая некий суперкритерий, который является суперпозицией указанных двух (например, их функцией).

Задача оптимизации портфеля активов с вектором средней доходности ${\displaystyle r}$ ковариационной матрицей ${\displaystyle V}$ может быть сформулирована следующим образом

${\displaystyle {\begin{cases}\sigma _{p}^{2}=d^{T}Vd\rightarrow \min \\d^{T}r=r_{p}\\d^{T}e=1\\\end{cases}}}$

К этим условиям в задаче оптимизации портфеля активов следует добавить условие неотрицательности портфеля (долей). Однако, в общем случае финансовых инструментов предполагается возможность открытия коротких позиций (отрицательных долей инструментов в портфеле). Тогда можно найти общее аналитическое решение задачи. Если обозначить,

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}r^{T}\\e^{T}\\\end{pmatrix}}V^{-1}(r,e)={\begin{pmatrix}r^{T}V^{-1}r&r^{T}V^{-1}e\\e^{T}V^{-1}r&e^{T}V^{-1}e\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{pmatrix}}}$

то решение задачи имеет вид

${\displaystyle d^{*}=V^{-1}(r,e)A^{-1}{\begin{pmatrix}r_{p}\\1\\\end{pmatrix}}}$

Тогда зависимость дисперсии оптимизированного (эффективного) портфеля от требуемой доходности будет иметь вид

${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=(r_{p},1)A^{-1}{\begin{pmatrix}r_{p}\\1\end{pmatrix}}={\frac {a_{22}r_{p}^{2}-2a_{12}r_{p}+a_{11}}{a_{11}a_{22}-a_{12}^{2}}}=\sigma _{0}^{2}{\frac {(r_{p}-r_{0})^{2}}{r_{0}(r_{1}-r_{0})}}+\sigma _{0}^{2}}$

где ${\displaystyle \sigma _{0}^{2}=1/a_{22},r_{0}=a_{12}/a_{22}}$ — минимально возможная дисперсия доходности портфеля и соответствующая ему средняя доходность

${\displaystyle r_{1}=a_{11}/a_{12}}$ — доходность портфеля, с соотношением риск-доходность таким же как и портфель минимального риска (графически это единственная точка пересечения с параболой прямой, проходящей через начало координат и вершину параболы)

При наличии безрискового актива (с нулевой дисперсией доходности) с доходностью ${\displaystyle r_{f}}$ формулировка задачи меняется

${\displaystyle {\begin{cases}\sigma _{p}^{2}=d^{T}Vd\rightarrow \min \\d^{T}(r-r_{f}e)=r_{p}-r_{f}\\d_{f}=1-d^{T}e\end{cases}}}$

Решение этой задачи имеет вид

${\displaystyle d^{*}={\frac {r_{p}-r_{f}}{(r-r_{f}e)^{T}V^{-1}(r-r_{f}e)}}V^{-1}(r-r_{f}e)}$

Вектор структуры рискового портфеля (доли рисковых активов не во всем портфеле, а в общей стоимости рискового портфеля) будет равен

${\displaystyle d^{**}={\frac {V^{-1}(r-r_{f}e)}{e^{T}V^{-1}(r-r_{f}e)}}}$

Видно, что структура рисковой части портфеля не зависит от требуемой доходности. Требуемая доходность определяет лишь соотношение рискового портфеля и безрискового актива.

Средняя доходность рискового портфеля будет равна

${\displaystyle r_{p}^{**}=r^{T}d^{**}={\frac {r^{T}V^{-1}(r-r_{f}e)}{e^{T}V^{-1}(r-r_{f}e)}}={\frac {a_{11}-r_{f}a_{12}}{a_{12}-r_{f}a_{22}}}={\frac {r_{0}(r_{1}-r_{f})}{r_{0}-r_{f}}}}$

Стандартное отклонение оптимального (эффективного) портфеля зависит от требуемой доходности линейно, а именно следующим образом

${\displaystyle \sigma _{p}={\frac {r_{p}-r_{f}}{\sqrt {(r-r_{f}e)^{T}V^{-1}(r-r_{f}e)}}}={\frac {\sigma _{0}(r_{p}-r_{f})}{\sqrt {(r_{f}-r_{0})^{2}-r_{0}(r_{1}-r_{0})}}}}$

Нетрудно также определить связь средней доходности отдельных инструментов со средней доходностью портфеля. Для этого определим вектор коэффициентов

${\displaystyle \beta ={\frac {Vd^{*}}{\sigma _{p}^{2}}}={\frac {r-r_{f}e}{r_{p}-r_{f}}}\Rightarrow r-r_{f}e=\beta (r_{p}-r_{f})}$

Отсюда получаем, что если инвесторы рациональны, то рыночный портфель условно можно считать эффективным, следовательно на рынке средняя доходность инструмента связана с доходностью рыночного портфеля следующим линейным образом

${\displaystyle r-r_{f}=\beta (r_{M}-r_{f})}$

Это модель оценки финансовых активов — CAPM

Модель Блэка — Литтермана

• Гарри Марковиц. Выбор портфеля Архивная копия от 3 июня 2017 на Wayback Machine