Число Дотти является единственной неподвижной точкой функции косинуса . Число́ До́тти — постоянная , определяемая как вещественное решение уравнения
cos
-->
x
=
x
,
{\displaystyle \cos x=x,}
где аргумент
cos
{\displaystyle \cos }
радианах . В десятичном представлении число Дотти примерно равно
0
,
739085133215...
{\displaystyle 0,739085133215...}
[ 1]
Из теоремы о промежуточном значении следует, что указанное уравнение должно иметь хотя бы одно решение. Производная функции
x
− − -->
cos
-->
(
x
)
{\displaystyle x-\cos(x)}
sin
-->
(
x
)
+
1
{\displaystyle \sin(x)+1}
почти везде положительна, а значит, сама функция монотонно возрастает и не может иметь нескольких нулей. Таким образом, уравнение
cos
-->
x
=
x
{\displaystyle \cos x=x}
Пусть
D
{\displaystyle D}
s
i
n
(
D
)
≈ ≈ -->
0
,
673612029183
{\displaystyle \mathrm {sin} (D)\approx 0,673612029183}
t
g
(
D
)
≈ ≈ -->
0
,
911413312094
{\displaystyle \mathrm {tg} (D)\approx 0,911413312094}
Число Дотти является нетривиальной притягивающей неподвижной точкой функции косинуса на сколь угодно большой своей действительной (но не комплексной ) окрестности . Иначе говоря, для любого действительного
x
{\displaystyle x}
lim
n
→ → -->
∞ ∞ -->
(
cos
-->
(
cos
-->
(
… … -->
cos
-->
(
x
)
… … -->
)
)
⏟ ⏟ -->
n
)
{\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }(\underbrace {\cos(\cos(\dots \cos(x)\dots ))} _{n})}
cos
-->
z
=
z
{\displaystyle \cos z=z}
комплексного
z
{\displaystyle z}
притягивающей неподвижной точкой .
Кроме того, число Дотти трансцендентно , что можно доказать при помощи теоремы Линдемана — Вейерштрасса .[ 2]
С использованием теоремы Лагранжа об обращении рядов было доказано, что число Дотти представимо в виде ряда
π π -->
2
+
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
a
2
n
− − -->
1
π π -->
2
n
− − -->
1
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{2n-1}\pi ^{2n-1}}
a
n
{\displaystyle a_{n}}
n
{\displaystyle n}
рациональным числом, определённым следующим образом:
a
n
=
1
n
!
2
n
lim
t
→ → -->
π π -->
2
∂ ∂ -->
n
− − -->
1
∂ ∂ -->
t
n
− − -->
1
(
cos
-->
t
t
− − -->
π π -->
/
2
− − -->
1
)
− − -->
n
{\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&={\frac {1}{n!\;2^{n}}}\lim _{t\to {\frac {\pi }{2}}}{\frac {\partial ^{n-1}}{\partial t^{n-1}}}{\left({\frac {\cos t}{t-\pi /2}}-1\right)^{-n}}\end{aligned}}}
Первые несколько членов последовательности
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
− − -->
1
4
,
− − -->
1
768
,
− − -->
1
61440
,
− − -->
43
165150720
,
… … -->
{\displaystyle -{\frac {1}{4}},-{\frac {1}{768}},-{\frac {1}{61440}},-{\frac {43}{165150720}},\ldots }
[ 3] [ 4] [ 5] [ nb 1]
Формула для числа Дотти в Excel или LibreOffice Calc: SQRT(1-(2*BETA.INV(1/2;1/2;3/2)-1)^2).
Имя данной константе было дано Самюэлем Капланом в честь преподавательницы французского по имени Дотти, которая обнаружила её, нажимая раз за разом кнопку взятия косинуса на калькуляторе, и рассказала об этом своему мужу — учителю математики.[ 3]
