Інтеграл Рімана

Вибрані статті із
Числення
Фундаментальна теорема Границя функції Неперервність Теорема Ролля Теорема Лагранжа Теорема про обернену функцію
Диференціальне Визначення Похідна (Таблиця похідних) Диференціал Поняття Нотація Друга похідна Третя похідна Підстановка змінних Неявна функція Теорема Тейлора Правила та тотожності Сума Добуток Частка Степінь[en] Складена функція Обернена функція Правило Лейбніца Формула Фаа ді Бруно
Інтегральне Таблиця інтегралів Визначення Первісна Інтеграл (невласний Рімана Лебега Стілтьєса Даніелла) Інтегрування частинами дисками[en] Методи інтегрування
Рядів Геометричні (Арифметично-геометричні) Гармонічні Знакопереміжні Степеневі Біноміальні Тейлора Ознаки збіжності Границя доданків Пряме порівняння Порівняння границь д'Аламбера Радикальна Інтегральна Теорема Лейбніца Стиснення Коші Діріхле Абеля
Векторів Градієнт Дивергенція Ротор Оператор Лапласа Похідна за напрямком Формули Теореми Градієнтна Гріна Остроградського Стокса
Багатьох змінних Формалізми Матриці[en] Тензорний Зовнішня похідна Визначення Часткова похідна Багатократний інтеграл Криволінійний інтеграл Поверхневий інтеграл Якобіан Матриця Гессе
Спеціалізоване Дробове Стохастичне Варіаційне
інше Історія Математичний аналіз Нестандартний аналіз
п о р

Інтегра́л Рі́мана — одне з найважливіших понять математичного аналізу, є узагальненням поняття суми, яке знаходить широке застосування в багатьох галузях математики. Був уведений Бернгардом Ріманом в 1854 році, і є однією з перших формалізацій поняття інтегралу.

Ріман формалізував поняття інтегралу, розроблене Ньютоном та Лейбніцем, як площу фігури, яка обмежена графіком функції та віссю абсцис. Для цього він розглянув ступінчасті фігури, які складаються з великої кількості вертикальних прямокутників, отриманих при розбитті відрізка інтегрування.

Нехай функція f : [a, b]→R є неперервною і невід'ємною на відрізку [a, b]. Фігура, обмежена графіком цієї функції, відрізком [a, b] і прямими {x = a} та {x = b}, називається криволінійною трапецією. Обчислимо наближено площу цієї трапеції.

1. Розіб'ємо відрізок [a, b] на n відрізків (n ≥ 1): a = x₀ < x₁ < x₂ < … < x_k < x_k+1 < … < x_n−1 < x_n = b. Множина точок {x₀, x₁,…, x_n} називається розбиттям відрізка інтегрування і позначається як λ або λ([a, b]).
2. На кожному відрізку розбиття [x_k, x_k+1] довільно оберемо по одній точці c_k (k = 0, 1,…, n − 1) і побудуємо вертикальні прямокутники Π_k = [x_k, x_k+1] × [0, f(c_k)].
3. Смугу криволінійної трапеції з основою [x_k, x_k+1] замінимо прямокутником Π_k.

В результаті отримаємо ступінчасту фігуру, складену з прямокутників.

Очевидно, що чим менші відрізки [x_k, x_k+1] розбиття, тим більше ступінчаста фігура наближається до криволінійної трапеції.

Зауваження. Якщо для розбиття λ довжини усіх відрізків однакові (тобто Δx_k := x_k+1 − x_k = Δx =: (b − a) / n для всіх k = 0,…, n − 1), то таке розбиття називається рівномірним.

Означення. Діаметром (розміром, дрібністю) розбиття λ = {x₀, x₁,…, x_n} називається число |λ| = max {Δx_k, 0 ≤ k ≤ n − 1}.

Означення. Величина

${\displaystyle S(f,\,\lambda ,\,\{c_{i}|\lambda \})=\sum _{k=1}^{n}f(c_{k})\Delta x_{k},}$

називається інтегральною сумою для функції f та точок {c_i | λ}, які відповідають розбиттю λ.

Інтегральна сума дорівнює площі ступінчастої фігури, і її природно вважати наближеним значенням площі криволінійної трапеції. А за площу криволінійної трапеції природно прийняти границю чисел S(f, λ, {c_i | λ}), коли |λ| → 0:

${\displaystyle S=\lim _{|\lambda |\rightarrow 0}S(f,\,\lambda ,\,\{c_{i}|\lambda \})=\lim _{|\lambda |\rightarrow 0}\sum _{k=1}^{n}f(c_{k})\Delta x_{k}.}$

До обчислення границь такого типу приводять багато задач, наприклад, обчислення довжини пройденого шляху при прямолінійному русі за відомою швидкістю v(t) протягом часу від моменту t₁ до t₂.

Означення (інтеграла Рімана). Нехай функція f : [a, b] → R (a < b) та

• для довільного розбиття λ відрізка [a, b] та відповідного йому набору точок {c_i | λ} існує скінченна границя інтегральних сум S(f, λ, {c_i | λ}) при |λ| → 0,
• границя інтегральних сум S(f, λ, {c_i | λ}) не залежить від розбиття λ і вибору точок c_i.

Тоді таку границю називають інтегралом Рімана функції f за відрізком [a, b] і позначають символом

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

У цьому випадку функція f(x) називається інтегровною (за Ріманом) на [a, b]; в протилежному випадку f(x) є неінтегровною (за Ріманом) на відрізку [a, b].

Термінологія. Функція f називається підінтегральною функцією, f(x)dx — підінтегральним виразом, x — змінною інтегрування, числа a та b — нижньою та верхньою межами інтегрування відповідно.

Позначення. Множину інтегровних за Ріманом функцій на відрізку [a, b] позначають R([a, b]).

Необхідною умовою інтегровності функції за Ріманом є її обмеженість: якщо функція f(x) необмежена на відрізку [a, b], то границя інтегральних сум для цієї функції буде рівна ∞.

• Орієнтовність інтеграла: має місце поняття інтеграла Рімана за відрізком «у зворотньому напрямку», а саме для a > b вважаємо, що

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx:=-\int _{b}^{a}f(x)\,dx;}$

• Інтеграл за відрізком нульової довжини: має місце поняття інтеграла Рімана за відрізком нульової довжини, а саме для довільного a ∈ R вважаємо, що

${\displaystyle \int _{a}^{a}f(x)\,dx:=0;}$

• Інтегровність на меншому відрізку: якщо f ∈ R([a, b]), то f ∈ R([c, d]) для довільного відрізка [c, d] ⊂ [a, b];
• Адитивність: якщо f ∈ R([a, b]) ∩ R([b, c]) (a < b < c), то f ∈ R([a, c]) і

${\displaystyle \int _{a}^{c}f(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{b}^{c}f(x)\,dx;}$

В цьому підрозділі вважаємо, що {a, b} ⊂ R — довільні.

• Невиродженість: для всіх {a, b} ⊂ R має місце рівність

${\displaystyle \int _{a}^{b}1\,dx=b-a;}$

• Лінійність: якщо {f, g} ⊂ R([a, b]), то для довільних {α, β} ⊂ R([a, b]) функція αf + βg ∈ R([a, b]) та

${\displaystyle \int _{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$

• Граничний перехід під знаком інтеграла Рімана: якщо f_i ∈ R([a, b]) рівномірно збігаються на [a, b] до функції f, то f ∈ R([a, b]) та

${\displaystyle \lim _{i\to \infty }\int _{a}^{b}f_{i}(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

В цьому підрозділі вважаємо, що a < b.

• Невід'ємність: якщо f ∈ R([a, b]) та невід'ємна на [a, b], то

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\geq 0;}$

• Нерівність інтегралів: якщо {f, g} ⊂ R([a, b]) та f(x) ≤ g(x) для всіх x ∈ [a, b], то

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx;}$

• Оцінка модуля інтеграла: якщо f ∈ R([a, b]), то |f| ∈ R([a, b]) та

${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx.}$

В цьому розділі наведено твердження, які дозволяють визначити, чи є функція інтегровна за Ріманом.

Нижня та верхня суми Дарбу́ для функції f(x) та розбиття λ — це інтегральні суми, в яких відповідні точки {c_i | λ} обираються як точні нижня та верхня межі функції f(x) відповідно.

Означення. Інтегральна сума для розбиття λ, для якої відповідні точки {c_i | λ} вибираються з умови c_i = inf_{[xi, xi+1]} f(x), називається нижньою сумою Дарбу для функції f та розбиття λ і позначається одним із символів L(f, λ) (від англ. lower — «нижній») або s(f, λ).

Означення. Інтегральна сума для розбиття λ, для якої відповідні точки {c_i | λ} вибираються з умови c_i = sup_{[xi, xi+1]} f(x), називається верхньою сумою Дарбу для функції f та розбиття λ і позначається одним із символів U(f, λ) (від англ. upper — «верхній») або S(f, λ).

За допомогою верхньої та нижньої сум Дарбу можна дати критерій інтегровності функції за Ріманом.

Теорема. Нехай f : [a, b] → R — обмежена функція. Функція f ∈ R([a, b]) тоді і лише тоді, коли

${\displaystyle \lim _{|\lambda |\to 0}(S(f,\,\lambda )-s(f,\,\lambda ))=0.}$

Теорема (про інтегровність неперервної функції). C([a, b]) ⊂ R([a, b]), тобто кожна неперервна на відрізку [a, b] функція є інтегровною за Ріманом на цьому відрізку.

Теорема (про інтегровність монотонної функції). Кожна монотонна на відрізку [a, b] функція є інтегровною за Ріманом на цьому відрізку.

Теорема (про інтегровність функції зі скінченною кількістю точок розриву). Нехай f : [a, b] → R задовольняє умовам

1. функція f(x) обмежена на [a, b];
2. f ∈ C([a, b] \ {z₁, z₂,…, z_n}).

Тоді f ∈ R([a, b]).

Приклад (неінтегровної обмеженої функції). Покажемо, що функція Діріхле

${\displaystyle D(x):={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} \\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}}$

не інтегровна на довільному відрізку [a, b] ⊂ R. Тут Q — це множина раціональних чисел, а R — множина дійсних чисел.

На довільному відрізку [α, β] ⊂ R знайдуться як раціональна, так і ірраціональна точки. Тому при довільному розбитті λ відрізка [a, b] маємо

${\displaystyle s(f,\,\lambda )=0,\qquad S(f,\,\lambda )=b-a,}$

звідки у відповідності з критерієм Дарбу інтегровності функції D ∉ R([a, b]).

Теорема. Припустимо, що функція f задовольняє умовам

1. f ∈ R([a, b]);
2. f має первісну F на [a, b].

Тоді справедлива формула Ньютона—Лейбніца:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(x){\Bigr |}_{x=a}^{b}:=F(b)-F(a),}$

З формулою Ньютона—Лейбніца обчислення інтеграла Рімана зводиться до знаходження первісної для підінтегральної функції (див. методи знаходження первісної). Проте нею слід користуватися обережно, спочатку переконавшись у тому, чи задовільняє підінтегральна функція обидві умови теореми.

Приклад. Розглянемо інтеграл ${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {dx}{x^{2}}}.}$ «Первісна» підінтегральної функції дорівнює F(x) = −1/x. Тоді згідно з формулою Ньютона—Лейбніца шуканий інтеграл дорівнює F(1) − F(−1) = −2 < 0, що суперечить властивості невід'ємності інтеграла Рімана, оскільки f(x) = 1/x² > 0.

У наведеному «обчисленні» інтеграла допущено дві помилки:

1. даний інтеграл не існує, оскільки підінтегральна функція необмежена на відрізку [-1, 1];
2. функція f(x) розривна в точці x = 0, яка належить відрізку інтегрування, тому вона не має первісної на цьому відрізку.

Безпосереднє обчислення визначеного інтеграла, виходячи з його означення (як границя інтегральних сум) зазвичай досить громіздке, однак все ж таки можливе.

Приклад. Обчислимо інтеграл

${\displaystyle \int _{a}^{b}\sin x\,dx.}$

Покладемо f(x) = sin x, x ∈ [a, b]. Оскільки f ∈ C([a, b]), то f ∈ R([a, b]), тому для обчислення інтегралу досить знайти границю довільної послідовності інтегральних сум. Розглянемо рівномірне розбиття λ_n відрізка [a, b] на n рівних частин, Δx = (b − a) / n, і запишемо інтегральну суму

${\displaystyle {\begin{aligned}S(f,\,\lambda _{n},\,\{c_{i}|\lambda _{n}\})&=\Delta x\sum _{k=1}^{n}\sin(a+k\Delta x)=\\&={\frac {\Delta x}{2\sin {\frac {\Delta x}{2}}}}\sum _{k=1}^{n}2\sin(a+k\Delta x)\sin {\frac {\Delta x}{2}}=\\&={\frac {\Delta x}{2\sin {\frac {\Delta x}{2}}}}\sum _{k=1}^{n}{\Big (}\cos(a+k\Delta x-{\frac {1}{2}}\Delta x)-\cos(a+kh+{\frac {1}{2}}\Delta x){\Big )}=\\&={\frac {\Delta x}{2\sin {\frac {\Delta x}{2}}}}{\Big (}\cos(a+{\frac {1}{2}}\Delta x)-\cos(b+{\frac {1}{2}}\Delta x){\Big )}.\end{aligned}}}$

Спрямувавши |λ_n| до нуля, отримаємо, що

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}\sin x\,dx&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta x}{2\sin {\frac {\Delta x}{2}}}}{\Big (}\cos(a+{\frac {1}{2}}\Delta x)-\cos(b+{\frac {1}{2}}\Delta x){\Big )}=\\&=\cos b-\cos a.\end{aligned}}}$

Приклад. Обчислимо інтеграл

${\displaystyle \int _{0}^{1}e^{x}\,dx.}$

Покладемо f(x) = e^x, x ∈ [0, 1]. Оскільки f ∈ C([0, 1]), то f ∈ R([a, b]). Отже, у відповідності з критерієм Дарбу інтегровності функцій

${\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)\,dx=\lim _{|\lambda _{n}|\rightarrow 0}s(f;\lambda _{n}),}$

де λ_n — рівномірне розбиття відрізка [0, 1] на n рівних частин. Отже, маємо

${\displaystyle {\begin{aligned}s(f;\,\lambda _{n})&=\sum _{i=0}^{n-1}e^{\frac {i}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}=\\&={\frac {e-1}{e^{\frac {1}{n}}-1}}\cdot {\frac {1}{n}},\end{aligned}}}$

звідки випливає, що

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}f(x)\,dx&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {e-1}{e^{\frac {1}{n}}-1}}\cdot {\frac {1}{n}}=\\&=e-1.\end{aligned}}}$

Припустимо, що f ∈ R([a, b]) (отже, f ∈ R([a, x]) для довільного x ∈ [a, b]). Покладемо

${\displaystyle \varphi (x):=\int _{a}^{x}f(u)\,du,\quad x\in [a,b].}$

Вочевидь, φ(а) = 0.

• Якщо f ∈ R([a, b]), то φ ∈ С([a, b]).
• Якщо f ∈ C([a, b]), то φ ∈ С¹([a, b]), причому для довільного x ∈ [a, b]: φ'(x) = f(x).
• Якщо f ∈ C([a, b]), то f має первісну на [a, b]. Первісними для f на [a, b] будуть функції вигляду φ(x) + c, c ∈ ℝ.

Теорема. Нехай

1. f : ℝ → ℝ інтегровна за Ріманом за кожним відрізком;
2. f має первісну на ℝ;
3. функції a, b : ℝ → ℝ диференційовні на ℝ.

Тоді

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a(x)}^{b(x)}f(u)\,du=f(b(x))b'(x)-f(a(x))a'(x),\quad x\in \mathbb {R} .}$

Таке означення інтеграла дано Коші^[1], але воно застосовувалося лише до неперервних функцій.

Ріман в 1854 році^[2], дав це ж означення без припущення неперервності.

• Похідна
• Інтегральне числення
  • Невизначений інтеграл
  • Невизначений інтеграл функції комплексної змінної
  • Методи інтегрування
  • Інтеграл Бохнера
  • Інтеграл Лебега
  • Інтеграл Даніелла
  • Інтеграл Стілтьєса
  • Невласний інтеграл
• Список об'єктів, названих на честь Бернгарда Рімана

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)
• Зорич В. А. Математический анализ. — 10-е. — М : МЦНМО, 2019. — Т. 1. — 564 с. — ISBN 978-5-4439-4029-8.(рос.)