Відображення кола

Відображення кола (англ. circle map) - одновимірне відображення, що відображає коло на себе. Вперше було запропоноване радянським математиком Андрієм Колмогоровим як спрощена модель для опису руху механічного ротора під впливом зовнішнього періодичного збурення. Використовується також для моделювання електричних кіл. Відоме завдяки своїм хаотичним властивостям.

Відображення кола записується у вигляді наступного ітераційного співвідношення

${\displaystyle \theta _{n+1}=\theta _{n}+\Omega -{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi \theta _{n}).}$

Тут ${\displaystyle \theta _{n}}$ може мати фізичний зміст кута повороту ротатора (або іншого об'єкта, що обертається) після ${\displaystyle n}$-ого удару зовнішнього збурення. Параметр ${\displaystyle K}$ пов'язаний із інтенсивністю збурення, а параметр ${\displaystyle \Omega }$ - з його фазою або частотою.

Відображення кола безпосередньо пов'язане із стандартним відображенням. Записавши стандартне відображення у вигляді (варто звернути увагу на деяку відмінність в позначеннях у порівнянні з оригінальною статтею про стандартне відображення):
${\displaystyle p_{n+1}=p_{n}+{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi \theta _{n})}$
${\displaystyle \theta _{n+1}=\theta _{n}+p_{n+1},}$

а потім переписавши у вигляді ${\displaystyle \theta _{n+1}=\theta _{n}+p_{n}+{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi \theta _{n})}$, не складно помітити, що поклавши ${\displaystyle p_{n}=\Omega }$ та ${\displaystyle K=-K}$ отримаємо відображення кола.

На відміну від стандартного відображення, відображення кола не зберігає фазового об'єму.

• Philip L. Boyland : Bifurcations of circle maps: Arnol'd tongues, bistability and rotation intervals [Архівовано 28 червня 2020 у Wayback Machine.] Comm. Math. Phys. Volume 106, Number 3 (1986), 353-381.

В іншому мовному розділі є повніша стаття Arnold tongue(англ.). Ви можете допомогти, розширивши поточну статтю за допомогою перекладу з англійської. (січень 2017) Дивитись автоперекладену версію статті з мови «англійська». Перекладач повинен розуміти, що відповідальність за кінцевий вміст статті у Вікіпедії несе саме автор редагувань. Онлайн-переклад надається лише як корисний інструмент перегляду вмісту зрозумілою мовою. Не використовуйте невичитаний і невідкоригований машинний переклад у статтях української Вікіпедії! Машинний переклад Google є корисною відправною точкою для перекладу, але перекладачам необхідно виправляти помилки та підтверджувати точність перекладу, а не просто скопіювати машинний переклад до української Вікіпедії. Не перекладайте текст, який видається недостовірним або неякісним. Якщо можливо, перевірте текст за посиланнями, поданими в іншомовній статті. Докладні рекомендації: див. Вікіпедія:Переклад.

Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.