Подвійний маятник

У фізиці і математиці, у галузі динамічних систем, подвійний маятник це маятник з іншим маятником прикріпленим до його кінця, і є простою фізичною системою, яка проявляє різноманітну динамічну поведінку зі значною залежністю від початкових умов.^[1] Рух маятника керується пов'язаними звичайними диференціальними рівняннями. Для деяких енергій його рух є хаотичним.

Можна розглядати декілька варіантів подвійних маятників; два члени можуть бути однакові чи різні завдовжки та за вагою, вони можуть бути простими маятниками або фізичними маятниками і рух може бути у трьох вимірах або обмежений вертикальною площиною. В наступному аналізі, члени обрані як однакові фізичні маятники довжини ${\displaystyle \ell }$ і маси ${\displaystyle m}$, і рух обмежений двома вимірами.

У фізичного маятника, маса розподілена вздовж усієї його довжини. Якщо маса розподілена рівномірно, тоді центр мас кожного члена збігається з його геометричним центром, і член має такий момент інерції ${\displaystyle \textstyle I={\frac {1}{12}}m\ell ^{2}}$ щодо цієї точки.

Це зручно використовувати кути між кожним членом і вертикаллю як узагальнені координати визначаючи простір конфігурацій системи. Якщо покласти початок координат декартової системи координат у точці підвішування першого маятника, тоді центр мас цього маятника перебуває в:

${\displaystyle x_{1}={\frac {\ell }{2}}\sin \theta _{1},}$

${\displaystyle y_{1}=-{\frac {\ell }{2}}\cos \theta _{1}}$

і центр мас другого в

${\displaystyle x_{2}=\ell \left(\sin \theta _{1}+{\frac {1}{2}}\sin \theta _{2}\right),}$

${\displaystyle y_{2}=-\ell \left(\cos \theta _{1}+{\frac {1}{2}}\cos \theta _{2}\right).}$

Цієї інформації достатньо, щоб записати Лагранжіан.

Лагранжіан є різницею між кінетичною енергією і потенціальною енергією:

${\displaystyle {\begin{aligned}L&={\frac {1}{2}}m\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\\&={\frac {1}{2}}m\left({{\dot {x}}_{1}}^{2}+{{\dot {y}}_{1}}^{2}+{{\dot {x}}_{2}}^{2}+{{\dot {y}}_{2}}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\end{aligned}}}$

Перший доданок це лінійна кінетична енергія центру мас тіл і другий доданок це обертова кінетична енергія центрів мас кожного стрижня. Останній доданок це потенціальна енергія тіл у однорідному гравітаційному полі.

Підставляючи координати і перегруповуючи рівняння маємо

${\displaystyle L={\frac {1}{6}}m\ell ^{2}\left[{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}+4{{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+3{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right]+{\frac {1}{2}}mg\ell \left(3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}\right).}$

Тут відбувається збереження лише однієї величини (енергії), і не збережений узагальнений імпульс. Два імпульси можна записати як

${\displaystyle p_{\theta _{1}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{1}}}}={\frac {1}{6}}m\ell ^{2}\left[8{{\dot {\theta }}_{1}}+3{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right]}$

і

${\displaystyle p_{\theta _{2}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{2}}}}={\frac {1}{6}}m\ell ^{2}\left[2{{\dot {\theta }}_{2}}+3{{\dot {\theta }}_{1}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right].}$

Ці вирази можна обернути, щоб отримати

${\displaystyle {{\dot {\theta }}_{1}}={\frac {6}{m\ell ^{2}}}{\frac {2p_{\theta _{1}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{2}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}}$

і

${\displaystyle {{\dot {\theta }}_{2}}={\frac {6}{m\ell ^{2}}}{\frac {8p_{\theta _{2}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{1}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}.}$

Решта рівнянь руху можна записати як

${\displaystyle {{\dot {p}}_{\theta _{1}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta _{1}}}=-{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\left[{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+3{\frac {g}{\ell }}\sin \theta _{1}\right]}$

і

${\displaystyle {{\dot {p}}_{\theta _{2}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta _{2}}}=-{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\left[-{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta _{2}\right].}$

Останні чотири рівняння є явними формулами для часової еволюції системи із заданим поточним станом. Це не виявляється можливим просунутись далі і інтегрувати ці рівняння аналітично, щоб отримати формули для θ₁ і θ₂ як функції від часу. Однак, можливо виконати числове інтегрування використовуючи метод Рунге — Кутти або подібну техніку.