Локально скінченна група

Алгебрична структура → Теорія груп Теорія груп
Основні поняття Підгрупа Нормальна підгрупа Комутант Фактор-група Гомоморфізм груп (Напів-)прямий добуток Пряма сума[en]
Алгебричні властивості Комутативна група Циклічна група Впорядкована група Група перетворень Розв'язна група
Скінченні групи Класифікація простих скінченних груп Скінченна циклічна група Cp Скінченна p-група Теорема Лагранжа Теореми Силова Симетрична група Sn Діедрична група Dn Знакозмінна група An 4-група Кляйна PSL(2,7) Групи Матьє M11 M12 M22 M23 M24 Групи Конвея Co1 Co2 Co3 Групи Янко J1 J2 J3 J4 Групи Фішера F22 F23 F24 Група чорної скриньки Монстр (М)
Топологічні групи Група Лі Загальна лінійна група GL(n) Спеціальна лінійна група SL(n) Ортогональна група O(n) Спеціальна ортогональна група SO(n) Унітарна група U(n) Спеціальна унітарна група SU(n) Симплектична група Sp(n) Прості Групи Лі G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ U(1) Група Лоренца Група Пуанкаре Група кватерніона
п о р

У математиці, в галузі теорії груп, локально скінченна група — це група, яка певним чином (як індуктивна границя) будується зі скінченних груп. Як і для скінченних груп, для локально скінченних груп вивчаються підгрупи Силова, підгрупи Картера тощо.

Найчастіше використовуються такі визначення:

Локально скінченною групою називають групу, кожна скінченно породжена підгрупа якої є скінченною.

Локально скінченною групою називають групу, в якої кожна скінченна підмножина міститься в скінченній підгрупі.

Ці визначення рівносильні.

• Скінченна група є локально скінченною.
• Пряма сума скінченних груп є локально скінченною^[1].
• Квазициклічна група є локально скінченною.
• Гамільтонова група є локально скінченною.
• Періодична лінійна група є локально скінченною^[2].
• Розв'язна періодична група є локально скінченною.

Теорема Шмідта: клас локально скінченних груп замкнутий відносно взяття підгруп, фактор-груп і розширень^[3].

Кожна група має єдину максимальну локально скінченну підгрупу^[4].

Будь-яка нескінченна локально скінченна група містить нескінченну абелеву підгрупу^[5].

Якщо локально-скінченна група містить скінченну максимальну p-підгрупу, то всі її максимальні p-підгрупи спряжені, причому, якщо їх кількість скінченна, то вона порівнянна з 1 за модулем p (див. також Теореми Силова).

Якщо кожна зліченна підгрупа локально скінченної групи містить не більш ніж зліченну кількість максимальних p-підгруп, то всі її максимальні p-підгрупи спряжені^[3].

• Задача Бернсайда
• Скінченна p-група

• Robinson, Derek John Scott (1996), A course in the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94461-6