Медіана абсолютних відхилень

Медіана абсолютних відхилень (англ. median absolute deviation (${\displaystyle MAD}$)) – робастна міра мінливості для однофакторної вибірки кількісних даних, що є медіаною абсолютних відхилень від медіани^[1]. Медіана абсолютних відхилень може розраховуватися і для генеральної сукупності.

В загальному випадку медіана абсолютних відхилень:

${\displaystyle MAD=Me{\bigl (}|X-Me(X)|{\bigr )}}$,

де ${\displaystyle Me}$ - оператор медіани,

${\displaystyle Me{\bigl (}X{\bigr )}}$ - медіана випадкової величини ${\displaystyle X}$.

Медіана абсолютних відхилень є мірою розсіяння значень випадкової величини. В порівнянні з іншими мірами розсіяння, такими як дисперсія чи стандартне відхилення, є стійкою оцінкою до викидів, що виниклі в наборі даних. У стандартному відхиленні чи дисперсії відхилення від середнього беруться у квадраті, тому більші відхилення мають більшу вагу і, таким чином, викиди сильніше впливають на них. У ${\displaystyle MAD}$ невелика, як правило, кількість викидів не має ніякого значення. Медіана абсолютних відхилень широко використовується як альтернатива стандартному відхиленню для пошуку викидів в одномірних даних^[2].

Крім того, що MAD - надійніша оцінка розсіяння, ніж дисперсія вибірки або стандартне відхилення, вона краще працює з розподілами без середнього або дисперсії типу, наприклад, розподілу Коші.

Нехай є набір значень 1, 1, 2, 2, 4, 6, 9. Медіана цього набору рівна 2. Абсолютні відхилення від медіани дорівнюють 1, 1, 0, 0, 2, 4, 7, медіана яких, у свою чергу, має значення 1 (оскільки впорядковані у неспадний ряд абсолютні відхилення становлять 0, 0, 1, 1 , 2, 4, 7). Отже, медіана абсолютних відхилень для цих даних дорівнює 1.

${\displaystyle MAD}$ генеральної сукупності визначається аналогічно до вибірки, але на основі повного розподілу. Для симетричного розподілу з середнім значенням рівним нулю медіана абсолютних відхилень рівна 75-ти відсотковому квантилю розподілу.

На відміну від дисперсії, яка може й не існувати, ${\displaystyle MAD}$ для генеральної сукупності існує завжди. Наприклад, для стандартного розподілу Коші, дисперсія якого не визначена, медіана абсолютних відхилень рівна 1.

Між медіаною абсолютних відхилень та стандартним відхиленням для симетричних розподілів існує простий зв'язок (якщо стандартне відхилення для відповідного закону розподілу існує):

${\displaystyle \sigma =k\cdot \operatorname {MAD} ,\,}$

де ${\displaystyle k}$ - множник, значення якого залежить від закону розподілу, наприклад, для нормального розподілу ${\displaystyle k}$ =1,4826^[3].

Для несиметричних розподілів залежність складніша.

Перша відома згадка про ${\displaystyle MAD}$ датується 1816 роком в науковій статті Карла Фрідріха Гаусса про визначення точності числових спостережень^[4]

Міри розсіяння

Розмах

Середнє абсолютне відхилення