Нерівність Бесселя

В математиці, нерівність Бесселя — твердження про коефіцієнти елемента ${\displaystyle x}$ у гільбертовому просторі стосовно ортонормованої послідовності.

Нехай ${\displaystyle H}$ — гільбертів простір, і ${\displaystyle e_{1},e_{2},...}$ — ортонормована послідовність елементів ${\displaystyle H}$. Тоді для довільного ${\displaystyle x\in H}$ виконується нерівність:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left\vert \left\langle x,e_{k}\right\rangle \right\vert ^{2}\leq \left\Vert x\right\Vert ^{2}}$

де <∙,∙> позначає скалярний добуток у просторі ${\displaystyle H}$. Нерівність Бесселя випливає з наступної рівності:

${\displaystyle 0\leq \left\|x-\sum _{k=1}^{n}\langle x,e_{k}\rangle e_{k}\right\|^{2}=\|x\|^{2}-2\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}+\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}=\|x\|^{2}-\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2},}$

що виконується для довільного ${\displaystyle n\geq 1}$.

• Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. — Москва : Наука, 1965.(рос.)
• Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. — 3-є. — Х. : Вища школа, 1977. — Т. 1. — 316 с.(рос.)
• П.П. Вагін, Б.А. Остудін, Г.А. Шинкаренко. Основи функціонального аналізу (Курс лекцій). — Львів : Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка, 2005. — С. 109. — ISBN УДК 517.98(042.4).