Гільбертові простори часто виникають у математиці та фізиці — як правило, як функціональні простори. Вперше вони досліджувалися з цієї точки зору в першому десятилітті 20-го століття Давидом Гільбертом, Ерхардом Шмідтом і Фріджесом Рісом. Гільбертові простори є незамінними інструментами в теорії диференціальних рівнянь у частинних похідних, квантовій механіці, аналізі Фур'є (який включає застосування до обробки сигналів і теплопередачі) та ергодичній теорії (яка формує математичну основу термодинаміки). Джон фон Нейман ввів термін «Гільбертовий простір» для абстрактної концепції, яка лежить в основі багатьох із цих різноманітних застосувань. Успіх методів простору Гільберта започаткував дуже плідну еру функціонального аналізу. Окрім класичних евклідових векторних просторів, прикладами гільбертових просторів є простори квадратично-інтегрованих функцій, простори послідовностей, простори Соболєва, що складаються з узагальнених функцій, і простори Харді голоморфних функцій.
Геометрична інтуїція відіграє важливу роль у багатьох аспектах теорії гільбертового простору. Так, у гільбертовому просторі справедливі точні аналоги теореми Піфагора і правила паралелограма. На глибшому рівні — перпендикулярна проекція на лінійний підпростір або підпростір (аналог «опускання висоти» в трикутнику) відіграє значну роль у вирішенні проблем оптимізації. Елемент гільбертового простору може бути однозначно заданий його координатами відносно ортонормованого базису, за аналогією з декартовими координатами в класичній геометрії. Коли цей базис є зліченно-нескінченним, це дозволяє ототожнити гільбертовий простір з простором нескінченних послідовностей, які сумуються квадратами. Останній простір часто в старій літературі називають простором Гільберта.
Гільбертовим простором називається[1][2]векторний простірнад полем дійсних або комплексних чисел разом зі скалярним добутком — функцією від двох змінних (або , у випадку використання поля комплексних чисел), що задовольняє такі умови:
для кожного
тоді і лише тоді, коли
для довільних трьох
, де , — елемент скалярного поля. ( або )
Для довільної послідовності , для якої виконано (умова фундаментальності)
,
знайдеться елемент , що для нього
.
Тоді кажуть, що є границею послідовності .
Наведене вище означення однаково застосовне як для випадку простору над дійсними числами, так і над комплексними; досить зауважити, що у першому випадку в умові 5 маємо просто симетричність скалярного добутку: .
Іноді також вимагається, щоб для розмірності простору виконувалось , хоча, очевидно, евклідові (скінченновимірні) простори можна розглядати як гільбертові без жодних додаткових застережень.
Слід зазначити, що умова 6 означає повноту простору відносно норми, заданої, як (те, що наведена функція справді є нормою, випливає із вказаних вище властивостей скалярного добутку); враховуючи лінійність, маємо, що кожен гільбертів простір є одночасно банаховим простором (тобто, повним нормованим векторним простором) із нормою .
Передгільбертів простір — векторний простір зі скалярним добутком (умови 1-5). Умови повноти простору6 немає, тому він, загалом, не є банаховим.
Лінійне відображення між двома (комплексними) гільбертовими просторами називається ізометрією, якщо воно зберігає (ермітовий) скалярний добуток, тобто для будь-яких векторів виконується рівність
За допомогою тотожності паралелограма,
(випливає із властивостей скалярного добутку і означення норми у гільбертовому просторі; — довільні) доводиться, що є ізометрією тоді і тільки тоді, коли воно зберігає норму, тобто для будь-якого Ізометрія між двома гільбертовими просторами, що є бієкцією, називається
ізоморфізмом гільбертових просторів.
є комплексним гільбертовим простором. Якщо обмежитися лише послідовностями з дійсними членами, то одержимо дійсний гільбертів простір. Те, що тобто ряд збігається — не очевидний факт, що потребує доведення. Збіжність ряда випливає із нерівності Коші-Буняковського, застосованої до перших членів послідовностей і Отож, отримуємо, що
У курсі функціонального аналізу доводиться також, що простір — повний і, таким чином, задовольняє всім аксіомам гільбертового простору.
2. Гільбертів простір квадратично-інтегрованих за Лебегом функцій на відрізку утворюється з лінійного простору неперервнихкомплекснозначних функцій на цьому відрізку за операцією поповнення. Наведемо лише означення ермітового скалярного добутку на :
Ортонормальні базиси: координати у гільбертовому просторі
У будь-якому гільбертовому просторі можна ввести систему координат, що
узагальнюють декартові координати на площині або в звичайному тривимірному евклідовому просторі. Це досягається за допомогою вибору ортонормального базису в
Система векторів гільбертового простору що індексується множиною називається ортогональною, якщо для будь-яких
і ортонормальною, якщо додатково для будь-якого
Отже, ортонормальна система складається з попарно ортогональних векторів гільбертового простору одиничної довжини. Система векторів називається повною, якщо множина їх скінчених лінійних комбінацій — щільна у
Повна ортонормальна система векторів гільбертового простору називається ортонормальним базисом у Повнота ортонормальної системи векторів перевіряється за допомогою рівності Парсеваля, див. нижче.
Координати вектора відносно даного ортонормального базису — це скаляри Вектор повністю визначений своїми координатами і може бути формально розкладений за елементами ортонормального базису:
Сепарабельні гільбертові простори утворюють найважливіший клас нескінченновимірних гільбертових просторів. Вони можуть бути охарактеризовані як такі, в яких можна обрати ортонормальний базис із зліченної множини векторів. Виявляється, що
за обранням ортонормального базису
будь-який (нескінченовимірний) сепарабельний гільбертів простір стає ізоморфним до
Дійсно, розгляньмо відображення
яке будь-якому вектору ставить у відповідність послідовність його координат відносно ортонормального базису Тоді — це лінійне відображення, і потрібно ще переконатися, що воно є ізометрією з образом Ці властивості випливають з наступної рівності Парсеваля.
Рівність Парсеваля
Припустимо, що — це скінченна або зліченна ортонормальна система векторів у гільбертовому просторі Повнота цієї системи еквівалентна виконанню наступної рівності для всіх векторів
де сума розповсюджується на всі елементи даної системи векторів. У будь-якому разі, ряд у лівій частині цієї рівності збігається і його сума не перевищує праву частину, цей факт називається нерівністю Бесселя.
Рівність Парсеваля вперше з'явилась у дослідженні рядів Фур'є неперервних функцій на скінченному інтервалі у такому вигляді:
де
— коефіцієнти Фур'є дійсної функції За елементарними перетвореннями, з цього випливає, що комплексні експоненціальні функції утворюють ортонормальний базис у означеному вище комплексному гільбертовому просторі
↑Архівована копія. Архів оригіналу за 15 червня 2013. Процитовано 22 лютого 2013.{{cite web}}: Обслуговування CS1: Сторінки з текстом «archived copy» як значення параметру title (посилання)
↑В. М. Кадец, Курс функционального анализа, Х:Видавництво ХНУ, 2004 — с.290