Обмежений оператор

Оператор ${\displaystyle A:X\to Y}$ між двома топологічними векторними просторами називається обмеженим, якщо кожну обмежену множину топологічного векторного простору ${\displaystyle X}$ він переводить в обмежену множину топологічного векторного простору ${\displaystyle Y}$. ^[1]

Дане означення можна застосовувати до лінійних і нелінійних операторів. Будь-який неперервний оператор є обмеженим.

Для лінійного оператора часто наводять інші означення: ^[1]

• Лінійний оператор ${\displaystyle A:X\to Y}$ називається обмеженим, якщо існує такий окіл нуля ${\displaystyle U}$, що ${\displaystyle A(U)}$ є обмеженою множиною в ${\displaystyle Y}$.
• Лінійний оператор ${\displaystyle A:X\to Y}$ між нормованими просторами називається обмеженим, якщо існує таке додатне число ${\displaystyle C}$, що ${\displaystyle \|Ax\|\leq C\|x\|}$. Найменше з таких чисел ${\displaystyle C}$ позначають через ${\displaystyle \|A\|}$ і називають нормою оператора ${\displaystyle A}$. Іншими словами,

${\displaystyle \|A\|=\sup _{\|x\|=1}{\|Ax\|}}$

• Справедливою є теорема про те, що лінійний обмежений оператор, який діє із одного F-простору в інший є неперервним. ^[2] Також це твердження буде справедливим для лінійного оператора ${\displaystyle A:X\to Y}$ із борнологічного простору ${\displaystyle X}$ у локально опуклий простір ${\displaystyle Y}$.
• Навпаки, будь-який неперервний оператор є обмеженим.^[1][2] Таким чином

• Лінійний неперервний оператор