Оператор Гільберта — ШмідтаОператор Гільберта — Шмідта — це обмежений оператор на гільбертовому просторі зі скінченною нормою Гільберта — Шмідта, тобто для якого існує такий ортонормований базис в , що Якщо це виконується в якомусь ортономованому базисі, то це виконується в будь-якому ортонормованому базисі. Скалярний добуток Гільберта — ШмідтаНехай і — два оператори Гільберта — Шмідта. Скалярний добуток Гільберта — Шмідта визначається як де позначає слід оператора. Індукована таким скалярним добутком норма називається нормою Гільберта — Шмідта: Це визначення не залежить від вибору ортонормованого базису і аналогічне нормі Фробеніуса для операторів у скінченновимірному векторному просторі. ВластивостіОператори Гільберта — Шмідта утворюють двосторонній *-ідеал у банаховій алгебрі обмежених операторів на . Оператори Гільберта — Шмідта утворюють замкнуту в топології, індукованій нормою на , множину тоді і тільки тоді, коли скінченновимірний. Вони також утворюють гільбертів простір. Можна показати, що він природно ізоморфний тензорному добутку гільбертових просторів де — простір, спряжений до .[3] Примітки
|