Пушич є вихованцем клубу «Вележ» (Мостар) з рідного міста, з якого перейшов до нідерландського «Де Графсхапа», за який дебютував на дорослому рівні 3 вересня 1989 року, вийшовши на заміну на останні п'ятнадцять хвилин у матчі першого раунду Кубка Нідерландів на виїзді проти «Маркена» (0:3)[1]. У середині 1990 року Пушич перейшов до «Гоу Егед Іглз»[2], але і тут пробитись до основної команди не зумів.
У сезоні 1991/92 Пушич грав за рідний «Вележ», після чого знову перебрався до «Де Графсхапа» у зв'язку з початком війни в Югославії[3]. Там він провів один сезон у резервній команді, а з 1993 року почав грати за аматорський клуб «Реден» у Фірдедивізі Нідерландів.
Влітку 1994 року балканець опинився на перегляді у німецькому «Кельні». Хоча в клубі було занадто багато іноземних гравців для заявки, у жовтні 1994 року Пушич все ж підписав трирічний контракт з клубом[4]. У результаті півзахисник був змушений грати лише за резервний склад команди, а потім грав за «Ейпен» у третьому дивізіоні Бельгії в сезоні 1995/96.
Після цього він грав за «Бабберіх» у голландській Фірдедивізі до середини 2000 року. З «Бабберіхом» він виграв Кубок Нідерландів серед аматорів у 1997 році. У фіналі на «Де Кейпі» у Роттердамі Пушич забив обидва голи в грі проти клубу СХО (2:0)[5]. Він пропустив останні ігри 2000 року, коли клуб йшов до вильоту зі свого дивізіону, адже на той час Пушич уже заявив про свій відхід з команди[6]. Ще до того, на початку 1999 року, він відмовився від переходу до загребського «Динамо»[7].
У сезоні 2000/01 грав за інший аматорський клуб «Де Трефферс», де і завершив кар'єру футболіста. Після цього Маріно також активно займався футзалом.
Тренерська кар'єра
По завершенні ігрової кар'єри сімнадцять років працював у школі-інтернаті для молоді з проблемами поведінки. Згодом Пушич був тренером у футбольній академії Вітессе/АГОВВ і асистентом тренера в клубах «НАК Бреда», «Інтер» (Баку) та «Твенте».
18 жовтня 2017 року він був призначений тимчасовим головним тренером «Твенте» після відходу Рене Гаке[8]. 29 жовтня 2017 року новим головним тренером був призначений Гертьян Вербек, а Пушич повернувся до ролі асистента. Коли Вербека звільнили 26 березня 2018 року, Пушич знову став тимчасовим головним тренером[9]. Під його керівництвом «Твенте» фінішував останнім і вибув з Ередивізі.
Попри невдачу, 16 червня 2018 року було оголошено, що Пушич стане постійним головним тренером клубу на сезон 2018/19, а Гонсало Гарсія Гарсія — його помічником[10]. Під керівництвом Маріно «Твенте» став чемпіоном Ерстедивізі в сезоні 2018/19 і повернувся в Ередивізі. Після цього 7 травня 2019 року з ним було розірвано контракт, який діяв ще на один сезон[11], хоча Пушич був визнаний найкращим тренером сезону 2018/19 в Ерстедивізі[12].
28 травня 2019 року було оголошено, що Пушич стане помічником головного тренера Арне Слота у АЗ (Алкмар)[13]. 2021 року Пушич разом із головним тренером перейшов на роботу до «Феєнорда»[14], з яким виборов чемпіонський титул сезону 2022/23.