奇異數 (數論)

此條目可参照英語維基百科相應條目来扩充。 若您熟悉来源语言和主题，请协助参考外语维基百科扩充条目。请勿直接提交机械翻译，也不要翻译不可靠、低品质内容。依版权协议，译文需在编辑摘要注明来源，或于讨论页顶部标记{{Translated page}}标签。

在數論中，奇異數（或稱奇怪數）是指不是半完全數的豐數，^[1] 也就是說此自然數之所有真因數（即小於此自然數之正因數）之和比此數自身大（豐數的定義），但其真因數不論如何組合，其和都不等於此自然數（因此不是半完全數）。

許多的豐數都是半完全數，如12的真因數有1, 2, 3, 4, 6，總和為16>12，因此為一豐數，但2+4+6=12，因此12也是半完全數，大多數的豐數都可以找到部份真因數，使其和等於本身。若豐數的真因數和都不等於本身，即為奇異數。

最小的奇異數是70，其真因數有1, 2, 5, 7, 10, 14及35，總和為74，其中無法找到一組子集合，使其總和為70。因此70是奇異數。

奇異數有無窮多個，最小的一些奇異數是：70, 836, 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10430, ... （OEIS數列A006037）。

未解決的數學問題：是否存在奇數的奇異數？

存在無限多個奇異數^[2]。例如，70p為奇異數，針對大於等於149的質數p都成立。實際上，奇異數集合的自然密度為正值^[3]。

目前已知的奇異數均為偶數，還不確定是否存在奇數的奇異數，若其存在，其數值必大於10²¹。^[4]

Sidney Kravitz證明針對正整數k，Q是超過2^k的質數，且

${\displaystyle R={\frac {2^{k}Q-(Q+1)}{(Q+1)-2^{k}}}}$

也是2^k的質數，則

${\displaystyle n=2^{k-1}QR}$

是奇異數^[5]。

Sidney Kravitz根據此公式，找到最大的奇異數

${\displaystyle n=2^{56}\cdot (2^{61}-1)\cdot 153722867280912929\ \approx \ 2\cdot 10^{52}.}$

1. ^ Benkoski, Stan. E2308（in Problems and Solutions）. The American Mathematical Monthly. Aug.-September 1972, 79 (7): 774. doi:10.2307/2316276.  请检查|date=中的日期值 (帮助)
2. ^ Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav (编). Handbook of number theory I. Dordrecht: Springer-Verlag. 2006: 113–114. ISBN 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300. 
3. ^ Benkoski, Stan; Erdős, Paul. On Weird and Pseudoperfect Numbers. Mathematics of Computation. April 1974, 28 (126): 617–623. JSTOR 2005938. MR 0347726. Zbl 0279.10005. doi:10.2307/2005938 . 
4. ^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A006037 (Weird numbers: abundant (A005101) but not pseudoperfect (A005835)). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.  -- comments concerning odd weird numbers
5. ^ Kravitz, Sidney. A search for large weird numbers. Journal of Recreational Mathematics (Baywood Publishing). 1976, 9 (2): 82–85. Zbl 0365.10003. 

• 豐數
• 半完全數