態向量

在量子力學裏，一個量子系統的量子態可以抽象地用態向量來表示。態向量存在於內積空間。定義內積空間為增添了一個額外的內積結構的向量空間。態向量滿足向量空間所有的公理。態向量是一種特殊的向量，它也允許內積的運算。態向量的範數是1，是一個單位向量。標記量子態${\displaystyle \psi \,\!}$的態向量為${\displaystyle |\psi \rangle \,\!}$。

每一個內積空間都有單範正交基。態向量是單範正交基的所有基向量的線性組合：

${\displaystyle |\psi \rangle =c_{1}|e_{1}\rangle +c_{2}|e_{2}\rangle +\dots +c_{n}|e_{n}\rangle \,\!}$；

其中，${\displaystyle |e_{1}\rangle ,\,|e_{2}\rangle ,\,\dots ,\,|e_{n}\rangle \,\!}$是單範正交基的基向量，${\displaystyle n\,\!}$是單範正交基的基數，${\displaystyle c_{1},\,c_{2},\,\dots ,\,c_{n}\,\!}$是複值的係數，是${\displaystyle |\psi \rangle \,\!}$的分量，${\displaystyle c_{i}\,\!}$是${\displaystyle |\psi \rangle \,\!}$投射於基向量${\displaystyle |e_{i}\rangle \,\!}$的分量，也是${\displaystyle |\psi \rangle \,\!}$處於${\displaystyle |e_{i}\rangle \,\!}$的機率幅。

換一種方法表達：

${\displaystyle |\psi \rangle =(c_{1},\,c_{2},\,\dots ,\,c_{n})^{T}={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}\,\!}$。

在狄拉克標記方法裏，態向量${\displaystyle |\psi \rangle \,\!}$稱為右矢。對應的左矢為${\displaystyle \langle \psi |\,\!}$，是右矢的厄米共軛，用方程式表達為

${\displaystyle \langle \psi |=|\psi \rangle ^{\dagger }=(c_{1}^{*},\,c_{2}^{*},\,\dots ,\,c_{n}^{*})\,\!}$；

其中，${\displaystyle \dagger \,\!}$象徵為取厄米共軛。

設定兩個態向量${\displaystyle |\alpha \rangle =(a_{1},\,a_{2},\,\dots ,\,a_{n})^{T}\,\!}$，${\displaystyle |\beta \rangle =(b_{1},\,b_{2},\,\dots ,\,b_{n})^{T}\,\!}$。定義${\displaystyle |\alpha \rangle \,\!}$內積${\displaystyle |\beta \rangle \,\!}$為

${\displaystyle \langle \alpha |\beta \rangle =\sum _{i}\ a_{i}^{*}b_{i}\,\!}$。

這內積的結果是一個複數。

1）共軛複數

${\displaystyle |\beta \rangle \,\!}$內積${\displaystyle |\alpha \rangle \,\!}$是${\displaystyle |\alpha \rangle \,\!}$內積${\displaystyle |\beta \rangle \,\!}$的共軛複數：

${\displaystyle \langle \beta |\alpha \rangle =\langle \alpha |\beta \rangle ^{*}\,\!}$。

2）歸一性

定義${\displaystyle |\alpha \rangle \,\!}$內積${\displaystyle |\alpha \rangle \,\!}$的平方根為${\displaystyle |\alpha \rangle \,\!}$的範數，標記為${\displaystyle |\alpha |\,\!}$。由於態向量滿足歸一性，態向量的範數必定等於1：

${\displaystyle |\alpha |={\sqrt {\langle \alpha |\alpha \rangle }}=1\,\!}$。

3）柯西-施瓦茨不等式

柯西-施瓦茨不等式闡明：

${\displaystyle \langle \alpha |\beta \rangle ^{2}\leq \langle \alpha |\alpha \rangle \langle \beta |\beta \rangle \,\!}$。

費曼, 理查; 雷頓, 羅伯; 山德士, 馬修. 費曼物理學講義III (2)量子力學應用. 台灣: 天下文化書. 2006: pp. 10–17. ISBN 986-417-672-2.  引文格式1维护：冗余文本 (link)