正圖形列表

正圖形範例
正多邊形（二維）
凸	星形
{5}	{5/2}
正多面體（三維）
凸	星形
{5,3}	{5/2,5}
正鑲嵌圖（二維）
平面	雙曲
{4,4}	{5,4}
正多胞體（四維）
凸	星形
{5,3,3}	{5/2,5,3}（英语：Small stellated 120-cell）
正堆砌體（三維）
平面	雙曲
{4,3,4}	{5,3,4}（英语：Order-4 dodecahedral honeycomb）

此頁面列出了所有的歐幾里得空間、雙曲空間和球形空間的正圖形或正多胞形。施萊夫利符號可以描述每一個正圖形或正多胞形，他被廣泛使用如下面的每一個緊湊的參考名稱。

正圖形或正多胞形可由其維度分類，也可以分成凸、非凸（星形、扭歪、複合或凹）和無窮等形式。非凸形式（或凹形式）使用與凸形式相同的頂點，但面（或邊）有相交。無限的形式則是在一較低維的歐幾里得空間中密鋪（鑲嵌或堆砌）。

無限的形式可以擴展到密鋪雙曲空間。雙曲空間是和正常的空間有相同的規模，但平行線在一定的距離內會分岔得越來越遠。這使得頂點值可以存在負角度的缺陷，例如製作一個由個正三角形組成的頂點，它們可以被平放。它不能在普通平面上完成的，但可以在一個雙曲平面上構造。

概觀

此表顯示正圖形或正多胞形在各個維度的匯總。

請注意，平面密鋪和雙曲密鋪的維數比預期多一維。這是因為它們是有限多胞形在不同維度的類比：凸正 $n$ 胞形可以看作 $(n -1)$ 維球面空間的鑲嵌。因此，歐幾里德平面的三個正鑲嵌圖（正三角形鑲嵌、正方形鑲嵌和正六邊形鑲嵌）列在第三維度而不是第二維下。

有限^{[註 1]}

平面^{[註 2]}

雙曲^{[註 3]}

複合^{[註 4]}

抽象

維度

凸

非凸

密鋪

星形

扭歪

凸

星形

扭歪

緊湊

仿緊

非緊

凸

星形

凸

星形

-1^{[註 5]}

0

0^{[註 6]}

0

1^{[註 7]}

0

1

0

1

0

1^{[註 8]}

0

1

2

∞

1

0

∞

3

5

4

?

3

∞

5

0

∞

4

6

10

?

1

?

4

0

11

∞

26

20

∞

5

3

0

?

3

?

5

4

2

186^[1]

0

∞

6

3

0

?

1

?

0

5

66^[1]

0

∞

7

3

0

?

1

?

0

36^[1]

3

0

∞

8

3

0

?

1

?

0

13^[1]

6

0

∞

9

3

0

?

1

?

0

10^[1]

0

∞

10

3

0

?

1

?

0

8^[1]

0

∞

11

3

0

?

1

?

0

4^[1]

0

∞

12+

3

0

?

1

?

0

^[2]

≤2^{[註 9]}

0

∞

不存在	存在唯一	有限個	無窮個	不一定

零維或以下的正圖形

在維數為零的空間能存在的多胞形只有點^[3]，無法有其他幾何或拓樸組合，而维數比零更低則是在抽象理論（英语：Abstract_polytope）中的虛無多胞形（英語：Null polytope）代表一種空集合，在抽象理論（英语：Abstract_polytope）中被看作是一種負一維的多胞形^[4]，但其是一種抽象多胞形（英语：Abstract_polytope）。然而，在數學上，零維空間是按以下的不等價定義之一，維數為零的拓撲空間：按覆蓋維數的概念，一個拓撲空間是零維空間，若空間的任何開覆蓋，都有一個加細，使得空間內每一點，都在這個加細的恰好一個開集內；或者按小歸納維數的概念，一個拓撲空間是零維空間，若空間有一個由閉開集組成的基。這兩個概念對可分可度量化空間為等價^[5]^[6]。而負一維空間僅是在抽象理論（英语：Abstract_polytope）表示一個比零維多胞形更低維度的一個元詞。

依據正圖形的定義，一個多胞形必須要具備嚴格的標記可遞特性，對於該幾何體內所有同維度的元素（如:點、線、面）都完全具有相同的性質，並且每一個元素皆為一個正圖形，而零維多胞形的元素僅有{F₋₁, F₀}、負一維多胞形的元素僅有{F₋₁}，幾何上所有零維多胞形都是正多胞形，一般地，n維正圖形被定義為有正維面[（n − 1）-表面]和正頂點圖，這兩個條件已經能充分地保證所有面、所有頂點都是相似的，但這一定義並不適用於抽象多胞形（英语：抽象多胞形），而負一維的多胞形的僅有一種抽象多胞形（英语：Abstract_polytope）。

另外，正零邊形也可以視為零維或以下的正圖形，或看做是虛無多胞形（英語：Null polytope）。

一維正圖形

	考克斯特記號終結點代表一個鏡射面，周圍有環的節點表示其不位於一個平面。 ditel, { }, 是點 p和其鏡射像 p'並且中間被夾出一段線段

在維數為一的一維空間裡存在的多胞形是由兩個端點包圍住的一個封閉一維空間，即線段。在定義上，這個一維多胞形（或稱1-多胞形）在施萊夫利符號中以： { } 表示^[8]^[9]，而在考克斯特記號中則以一個有環的節點：表示^[7]。諾曼·約翰遜（英语：Norman Johnson (mathematician)）將之稱為ditel，並在施萊夫利符號中以{ }表示^[10]。依據正圖形的定義，一個多胞形必須要具備嚴格的標記可遞特性，對於該幾何體內所有同維度的元素（如:點、線、面）都完全具有相同的性質，並且每一個元素皆為一個正圖形，而一維多胞形的旗包含{F₋₁, F₀, F₁}、其元素僅有{F₋₁, A, B, AB}，其中，A、B為線段兩端點，由於幾何上所有零維多胞形都是正多胞形，因此所有的線段都會符合標記可遞特以及所有同維度的元素（如:點、線、面）都完全具有相同的性質，並且每一個元素皆為一個正圖形，因此在幾何上所有的一維多胞形都是正多胞形。

雖然線段做為一個多胞形是微不足道的，但它似乎是多邊形和其他更高維度圖形形成邊緣所需的一個元素^[11]。在一維以及以下（包括一維、零維、負一維）空間中的多胞形都是正多胞形，包含了一維的線段、零維的點和負一維的抽象虛無多胞形都是組成多邊形和其他更高維度圖形的重要元素之一，比如一維的線段組成多邊形的邊、零維的點組成多邊形的頂點以及代表集合子集中空集合的抽象虛無多胞形都是多邊形的組成元素（子集），依據正圖形定義，若這些低為度不存在正圖形，則也不會有正多邊形和其他更高維度的正圖形。

在柱體的定義裡，線段（一維）可以被看做是點（零維）的柱體，在施萊夫利符號中以{ }×{p}表示，而在考克斯特記號中則以笛卡兒積的形式表示一個線段和多邊形^[12]。

二維正多邊形

二維凸正多邊形

名稱	正三角形（2-單體）	正方形（2-正軸形）（2-立方形）	正五邊形	正六邊形	正七邊形	正八邊形
施萊夫利符號	{3}	{4}	{5}	{6}	{7}	{8}
考克斯特符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）
圖像
名稱	正九邊形	正十邊形	正十一邊形	正十二邊形	正十三邊形	正十四邊形
施萊夫利	{9}	{10}	{11}	{12}	{13}	{14}
考克—迪肯
圖像
名稱	正十五邊形	正十六邊形	正十七邊形	正十八邊形	正十九邊形	正二十邊形	...正n邊形
施萊夫利	{15}	{16}	{17}	{18}	{19}	{20}	{n}
考克—迪肯
圖像

邊數較大的正多邊形

名稱	二百五十七邊形	正65537邊形	一百萬邊形
可作圖？	可作圖^[13]^[14]	可作圖^[15]^[16]	不可
施萊夫利符號	{257}^[17]	{65537}^[18]	{1000000}^[19]
考克斯特符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）
圖像			^[20]^{[註 10]}

退化（圓形）

名稱	正零邊形	正一邊形	正二邊形
施萊夫利符號		{1}^[21]	{2}^[22]
考克斯特符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）
圖像

星形正多邊形

名稱	五角星	七角星		八角星	九角星		十角星	...n角星
施萊夫利符號	{5/2}^[23]	{7/2}	{7/3}	{8/3}	{9/2}	{9/4}	{10/3}	{p/q}
考克斯特符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）
圖像

20邊以下的星形正多邊形
{11/2}	{11/3}	{11/4}	{11/5}	{12/5}	{13/2}	{13/3}	{13/4}	{13/5}	{13/6}
{14/3}	{14/5}	{15/2}	{15/4}	{15/7}	{16/3}	{16/5}	{16/7}
{17/2}	{17/3}	{17/4}	{17/5}	{17/6}	{17/7}	{17/8}	{18/5}	{18/7}
{19/2}	{19/3}	{19/4}	{19/5}	{19/6}	{19/7}	{19/8}	{19/9}	{20/3}	{20/7}	{20/9}

扭歪正多邊形

鋸齒扭歪多邊形的例子
D_3d, [2⁺,6]	D_4d, [2⁺,8]	D_5d, [2⁺,10]
扭歪六邊形	扭歪八邊形	扭歪十邊形
{3}#{ }	{4}#{ }	{5}#{ }	{5/2}#{ }	{5/3}#{ }

三維正圖形

三維凸正多面體

名稱	施萊夫利符號 {p,q}	面 {p}	邊	頂點 {q}	對稱群	對偶
正四面體（3-單體）（三角錐）	{3,3}	4 {3}	6	4 {3}	T_d	（自身對偶）
正方體（3-立方形）（正六面體）（四角柱）	{4,3}	6 {4}	12	8 {3}	O_h	正八面體
正八面體（3-正軸體）（正三角反棱柱）	{3,4}	8 {3}	12	6 {4}	O_h	立方體
正十二面體	{5,3}	12 {5}	30	20 {3}	I_h	正二十面體
正二十面體	{3,5}	20 {3}	30	12 {5}	I_h	正十二面體

退化（球面）

在球面幾何學中，多面形 {2,n} 和多邊形二面體 {n,2} 以及一面體 {1,1} 也可以被視為是一種正多面體（正球面鑲嵌）。

他們包括：

名稱	施萊夫利 {p,q}	面 {p}	邊	頂點 {q}	對稱性（英语：List of spherical symmetry groups）	對偶
一邊形一面體	{1,1}	1 {1}	0	1 {1}	C₁ （*1）	自身對偶
一邊形二面體	{1,2}	2 {1}	1	1 {2}	C_1v （*22）	一面形
一面形	{2,1}	1 {2}	1	2 {1}	C_1v （*22）	一邊形二面體
二邊形二面體二面形	{2,2}	2 {2}	2	2 {2}	D_2h （*222）	自身對偶
三面形	{2,3}	3 {2}	3	2 {3}	D_3h （*322）	三角形二面體
三角形二面體	{3,2}	2 {3}	3	3 {2}	D_3h （*322）	三面形
六面形	{2,6}	6 {2}	6	2 {6}	D_6h （*622）	六邊形二面體
六邊形二面體	{6,2}	2 {6}	6	6 {2}	D_6h （*622）	六面形

星形正多面體

名稱	施萊夫利 {p,q} 考克斯特（英语：Coxeter-Dynkin diagram）	面 {p}	邊	頂點 {q} 頂點圖	χ	密度（英语：Density (polytope)）	對稱姓	對偶
小星形十二面體	{5/2,5}	12 {5/2}	30	12 {5}	−6	3	I_h [5,3] （*532）	大十二面體
大十二面體	{5,5/2}	12 {5}	30	12 {5/2}	−6	3	I_h [5,3] （*532）	小星形十二面體
大星形十二面體	{5/2,3}	12 {5/2}	30	20 {3}	2	7	I_h [5,3] （*532）	大二十面體
大二十面體	{3,5/2}	20 {3}	30	12 {5/2}	2	7	I_h [5,3] （*532）	大星形十二面體

扭歪正多面體

考克斯特在他的論文《三維和四維空間的正扭歪多面體極其類似物》^[24]中列出了較多的一系列扭歪多面體，其中有四種是正圖形。

{4, 6 \| 3}	{6, 4 \| 3}	{4, 8 \| 3}	{8, 4 \| 3}

四維正圖形

四維凸正多胞體

在四維空間中存在6種凸正圖形。

名稱	施萊夫利 {p,q,r}	胞 {p,q}	面 {p}	邊 {r}	頂點 {q,r}	對偶 {r,q,p}
正五胞體（四維單純形）	{3,3,3}	5 {3,3}	10 {3}	10 {3}	5 {3,3}	自身對偶
正八胞體（四維超方形）（超立方體）	{4,3,3}	8 {4,3}	24 {4}	32 {3}	16 {3,3}	正十六胞體
正十六胞體（四維正軸體）	{3,3,4}	16 {3,3}	32 {3}	24 {4}	8 {3,4}	超立方體
正二十四胞體	{3,4,3}	24 {3,4}	96 {3}	96 {3}	24 {4,3}	自身對偶
正一百二十胞體（四維類五邊形體）	{5,3,3}	120 {5,3}	720 {5}	1200 {3}	600 {3,3}	正六百胞體
正六百胞體（四維類二十面體體	{3,3,5}	600 {3,3}	1200 {3}	720 {5}	120 {3,5}	正一百二十胞體

正五胞體	超立方體	正十六胞體	正二十四胞體	正一百二十胞體	正六百胞體
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}
線架圖（皮特里多邊形）歪斜正投影圖（英语：orthographic projection）

不透明正投影圖（英语：orthographic projection）
被正四面體包覆（以頂點與胞為中心）	被立方體包覆（以胞為中心）	被立方體包覆（以胞為中心）	被截半立方體包覆（以胞為中心）	被倒角十二面體包覆（以胞為中心）	被五角化截半二十面體包覆（以頂點為中心）
施萊蓋爾（英语：Schlegel diagram）線框（透視投影）
（以胞為中心）	（以胞為中心）	（以胞為中心）	（以胞為中心）	（以胞為中心）	（以頂點為中心）
球極平面投影線框（超球面堆砌）

退化（超球面）

多維面形
施萊夫利 {2,p,q}	胞 {2,p}_π/q	面 {2}_π/p,π/q	邊	頂點	頂點圖 {p,q}	對稱性	對偶多胞形
{2,3,3}	4 {2,3}_π/3	6 {2}_π/3,π/3	4	2	{3,3}	[2,3,3]	{3,3,2}
{2,4,3}	6 {2,4}_π/3	12 {2}_π/4,π/3	8	2	{4,3}	[2,4,3]	{3,4,2}
{2,3,4}	8 {2,3}_π/4	12 {2}_π/3,π/4	6	2	{3,4}	[2,4,3]	{4,3,2}
{2,5,3}	12 {2,5}_π/3	30 {2}_π/5,π/3	20	2	{5,3}	[2,5,3]	{3,5,2}
{2,3,5}	20 {2,3}_π/5	30 {2}_π/3,π/5	12	2	{3,5}	[2,5,3]	{5,3,2}

扭歪多胞體

四維的扭歪多胞體是一些位於五維或以上的扭歪圖形。

五維正圖形

五維凸正多胞體

名稱	施萊夫利 {p,q,r,s} 考克斯特（英语：Coxeter-Dynkin diagram）	維面 {p,q,r}	胞 {p,q}	面 {p}	邊	頂點	面圖 {s}	邊圖 {r,s}	頂點圖 {q,r,s}
五維正六胞體	{3,3,3,3}	6 {3,3,3}	15 {3,3}	20 {3}	15	6	{3}	{3,3}	{3,3,3}
五維超正方體	{4,3,3,3}	10 {4,3,3}	40 {4,3}	80 {4}	80	32	{3}	{3,3}	{3,3,3}
五維正三十二胞體	{3,3,3,4}	32 {3,3,3}	80 {3,3}	80 {3}	40	10	{4}	{3,4}	{3,3,4}

五維正六胞體	五維超正方體	五維正三十二胞體

六維正圖形

六維凸正多胞體

名稱	施萊夫利	頂點	邊	面	胞	維脊	維面
六維正七胞體	{3,3,3,3,3}	7	21	35	35	21	7
六維超立方體（英语：6-cube）	{4,3,3,3,3}	64	192	240	160	60	12
六維正六十四胞體（英语：6-orthoplex）	{3,3,3,3,4}	12	60	160	240	192	64

六維正七胞體	六維超立方體（英语：6-cube）	六維正六十四胞體（英语：6-orthoplex）

七維正圖形

七維凸正多胞體

名稱	施萊夫利	頂點	邊	面	胞	維峰	維脊	維面	χ
七維正八胞體	{3,3,3,3,3,3}	8	28	56	70	56	28	8	2
七維超立方體（英语：7-cube）	{4,3,3,3,3,3}	128	448	672	560	280	84	14	2
七維正一百二十八胞體（英语：7-orthoplex）	{3,3,3,3,3,4}	14	84	280	560	672	448	128	2

七維正八胞體	七維超立方體（英语：7-cube）	七維正一百二十八胞體（英语：7-orthoplex）

七維以上正圖形

自五維開始，正圖形皆只有三種——单纯形、超方形以及正轴形。

n維凸正多胞體

從五維開始，凸正多胞體都只有三種^[25]。

名稱	施萊夫利符號 {p₁,...,p_n−1}	考克斯特（英语：Coxeter-Dynkin diagram）記號	`k`維胞 / 面	維面	頂點圖	對偶
`n`維單體	{3ⁿ⁻¹}	...	${{n+1} \choose {k+1}}$	{3ⁿ⁻²}	{3ⁿ⁻²}	自身對偶
`n`維超立方體	{4,3ⁿ⁻²}	...	$2^{n-k}{n \choose k}$	{4,3ⁿ⁻³}	{3ⁿ⁻²}	`n`維正軸體
`n`維正軸體	{3ⁿ⁻²,4}	...	$2^{k+1}{n \choose {k+1}}$	{3ⁿ⁻²}	{3ⁿ⁻³,4}	`n`維超立方體

八維

名稱	施萊夫利	頂點	邊	面	胞	4維胞	維峰	維脊	維面
八維單體（英语：8-simplex）	{3,3,3,3,3,3,3}	9	36	84	126	126	84	36	9
八維超立方體（英语：8-cube）	{4,3,3,3,3,3,3}	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16
八維正軸體（英语：8-orthoplex）	{3,3,3,3,3,3,4}	16	112	448	1120	1792	1792	1024	256

八維單體（英语：8-simplex）	八維超立方體（英语：8-cube）	八維正軸體（英语：8-orthoplex）

九維

名稱	施萊夫利	頂點	邊	面	胞	4維胞	5維胞	維峰	維脊	維面	χ
九維單體（英语：9-simplex）	{3⁸}	10	45	120	210	252	210	120	45	10	2
九維超立方體（英语：9-cube）	{4,3⁷}	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18	2
九維正軸體（英语：9-orthoplex）	{3⁷,4}	18	144	672	2016	4032	5376	4608	2304	512	2

九維單體（英语：9-simplex）	九維超立方體（英语：9-cube）	九維正軸體（英语：9-orthoplex）

十維

名稱	施萊夫利	頂點	邊	面	胞	4維胞	5維胞	6維胞	維峰	維脊	維面
十維單體	{3⁹}	11	55	165	330	462	462	330	165	55	11
十維超立方體（英语：10-cube）	{4,3⁸}	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	20
十維正軸體（英语：10-orthoplex）	{3⁸,4}	20	180	960	3360	8064	13440	15360	11520	5120	1024

十維單體	十維超立方體（英语：10-cube）	十維正軸體（英语：10-orthoplex）

十一維

名稱	施萊夫利	頂點	邊	面	胞	4維胞	5維胞	6維胞	7維胞	維峰	維脊	維面	χ
十一維單體	{3¹⁰}	12	66	220	495	792	924	792	495	220	66	12	2
十一維超立方體	{4,3⁹}	2048	11264	28160	42240	42240	29568	14784	5280	1320	220	22	2
十一維正軸體	{3⁹,4}	22	220	1320	5280	14784	29568	42240	42240	28160	11264	2048	2

十一維單體	十一維超立方體	十一維正軸體

十二維

名稱	施萊夫利	頂點	邊	面	胞	4維胞	5維胞	6維胞	7維胞	8維胞	維峰	維脊	維面
十二維單體	{3¹¹}	13	78	286	715	1287	1716	1716	1287	715	286	78	13
十二維超立方體	{4,3¹⁰}	4096	24576	67584	112640	126720	101376	59136	25344	7920	1760	264	24
十二維正軸體	{3¹⁰,4}	24	264	1760	7920	25344	59136	101376	126720	112640	67584	24576	4096

十二維單體	十二正軸體

更高維度

種類	維度	名稱	施萊夫利	頂點	邊	面	維峰	維脊	維面	χ
单纯形	13	十三維單體	{3¹²}	14	91	364	364	91	14	2
	14	十四維單體	{3¹³}	15	105	455	455	105	15	0
	15	十五維單體	{3¹⁴}	16	120	560	560	120	16	2
	16	十六維單體	{3¹⁵}	17	136	680	680	136	17	0
	17	十七維單體	{3¹⁶}	18	153	816	816	153	18	2
	18	十八維單體	{3¹⁷}	19	171	969	969	171	19	0
	19	十九維單體	{3¹⁸}	20	190	1140	1140	190	20	2
	20	二十維單體	{3¹⁹}	21	210	1330	1330	210	21	0
超方形	13	十三維超立方體	{4,3¹¹}	8192	53248	159744	2288	312	26	2
	14	十四維超立方體	{4,3¹²}	16384	114688	372736	2912	364	28	0
	15	十五維超立方體	{4,3¹³}	32768	245760	860160	3640	420	30	2
	16	十六維超立方體	{4,3¹⁴}	65536	524288	1966080	4480	480	32	0
	17	十七維超立方體	{4,3¹⁵}	131072	1114112	4456448	5440	544	34	2
	18	十八維超立方體	{4,3¹⁶}	262144	2359296	10027008	6528	612	36	0
	19	十九維超立方體	{4,3¹⁷}	524288	4980736	22413312	7752	684	38	2
	20	二十維超立方體	{4,3¹⁸}	1048576	10485760	49807360	9120	760	40	0
正轴形	13	十三維正軸體	{3¹¹,4}	26	312	2288	159744	53248	8192	2
	14	十四維正軸體	{3¹²,4}	28	364	2912	372736	114688	16384	0
	15	十五維正軸體	{3¹³,4}	30	420	3640	860160	245760	32768	2
	16	十六維正軸體	{3¹⁴,4}	32	480	4480	1966080	524288	65536	0
	17	十七維正軸體	{3¹⁵,4}	34	544	5440	4456448	1114112	131072	2
	18	十八維正軸體	{3¹⁶,4}	36	612	6528	10027008	2359296	262144	0
	19	十九維正軸體	{3¹⁷,4}	38	684	7752	22413312	4980736	524288	2
	20	二十維正軸體	{3¹⁸,4}	40	760	9120	49807360	10485760	1048576	0

n維正非凸多胞形

從五維開始就都不存在任何非凸多胞形。

正無窮多胞形

一維

密鋪

對應的歐幾里得密鋪只有一種，密鋪於一維歐幾里得空間，即直線，即正無限邊形。其施萊夫利符號以{∞}表示、考克斯特符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）以表示。

該鑲嵌是由一維正圖形「線段」（即二維二邊形）完成一維歐幾里得空間的密鋪。

......

雙曲密鋪

對應的雙曲密鋪只有一種，即由一維正圖形「線段」完成一維羅氏空間（即二維雙曲線）的密鋪，類似於無限邊形，稱為超無限邊形，但又因為它是發散的，因此又稱為偽多邊形。在施萊夫利符號以{iπ/λ}表示、考克斯特符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）以表示。

二維

平面正鑲嵌圖

名稱	正方形鑲嵌	正三角形鑲嵌	正六邊形鑲嵌
對稱群（英语：List of planar symmetry groups#Wallpaper groups）	p4m, [4,4], （*442）	p6m, [6,3], （*632）
施萊夫利 {p,q}	{4,4}	{3,6}	{6,3}
考克斯特記號（英语：Coxeter-Dynkin diagram）
圖像

雙曲凸正鑲嵌圖

雙曲正鑲嵌圖
球面（退化/柏拉圖）/平面/雙曲面（龐加萊圓盤：緊湊/仿緊湊/非緊湊）鑲嵌圖與其施萊夫利符號
p \ q	2	3	4	5	6	7	8	...	∞	...	$i π/λ$
2	{2,2}	{2,3}	{2,4}	{2,5}	{2,6}	{2,7}	{2,8}		{2,∞}		{2, $i π/λ$ }
3	{3,2}	（正四面體） {3,3}	（正八面體） {3,4}	（正二十面體） {3,5}	（三角鑲嵌） {3,6}	{3,7}	{3,8}		{3,∞}		{3, $i π/λ$ }
4	{4,2}	（立方體） {4,3}	（方形鑲嵌） {4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8}		{4,∞}		{4, $i π/λ$ }
5	{5,2}	（十二面體） {5,3}	{5,4}	{5,5}	{5,6}	{5,7}（英语：Order-7 pentagonal tiling）	{5,8}（英语：Order-8 pentagonal tiling）		{5,∞}		{5, $i π/λ$ }
6	{6,2}	（六角鑲嵌） {6,3}	{6,4}	{6,5}	{6,6}	{6,7}（英语：Order-7 hexagonal tiling）	{6,8}		{6,∞}（英语：Infinite-order hexagonal tiling）		{6, $i π/λ$ }
7	{7,2}	{7,3}	{7,4}	{7,5}（英语：Order-5 heptagonal tiling）	{7,6}（英语：Order-6 heptagonal tiling）	{7,7}	{7,8}（英语：Order-8 heptagonal tiling）		{7,∞}（英语：Infinite-order heptagonal tiling）		{7, $i π/λ$ }
8	{8,2}	{8,3}	{8,4}	{8,5}（英语：Order-5 octagonal tiling）	{8,6}	{8,7}（英语：Order-7 octagonal tiling）	{8,8}		{8,∞}（英语：Infinite-order octagonal tiling）		{8, $i π/λ$ }
⋮
∞	{∞,2}	{∞,3}	{∞,4}	{∞,5}	{∞,6}（英语：Order-6 apeirogonal tiling）	{∞,7}（英语：Order-7 apeirogonal tiling）	{∞,8}（英语：Order-8 apeirogonal tiling）		{∞,∞}		{∞, $i π/λ$ }
⋮
$i π/λ$	{ $i π/λ$ ,2}	{ $i π/λ$ ,3}	{ $i π/λ$ ,4}	{ $i π/λ$ ,5}	{ $i π/λ$ ,6}	{ $i π/λ$ ,7}	{ $i π/λ$ ,8}		{ $i π/λ$ ,∞}		{ $i π/λ$ , $i π/λ$ }

雙曲星形正鑲嵌圖

名稱	施萊夫利符號	面的種類 {p}	頂點圖 {q}	密度（英语：Density (polytope)）	對稱	對偶
七階七角星鑲嵌	{7/2,7}	{7/2}	{7}	3	*732 [7,3]	二分之七階七邊形鑲嵌
二分之七階七邊形鑲嵌	{7,7/2}	{7}	{7/2}	3	*732 [7,3]	七階七角星鑲嵌
九階九角星鑲嵌	{9/2,9}	{9/2}	{9}	3	*932 [9,3]	二分之九階九邊形鑲嵌
二分之九階九邊形鑲嵌	{9,9/2}	{9}	{9/2}	3	*932 [9,3]	九階九角星鑲嵌
十一階十一角星鑲嵌	{11/2,11}	{11/2}	{11}	3	*11.3.2 [11,3]	二分之十一階十一邊形鑲嵌
二分之十一階十一邊形鑲嵌	{11,11/2}	{11}	{11/2}	3	*11.3.2 [11,3]	十一階十一角星鑲嵌
p階p角星鑲嵌	{p/2,p}	{p/2}	{p}	3	*p32 [p,3]	二分之p階p邊形鑲嵌
二分之p階p邊形鑲嵌	{p,p/2}	{p}	{p/2}	3	*p32 [p,3]	p階p角星鑲嵌
...
無限階無限角星鑲嵌^{[註 11]}	{∞/2,∞}	{∞/2}	{∞}	3	*∞.3.2 [∞,3]	二分之無限階無限邊形鑲嵌^{[註 11]}
二分之無限階無限邊形鑲嵌^{[註 11]}	{∞,∞/2}	{∞}	{∞/2}	3	*∞.3.2 [∞,3]	無限階無限角星鑲嵌^{[註 11]}

三維

三維空間中只有一種正堆砌體，即立方體堆砌{4, 3, 4}：^[7]

名稱	施萊夫利 {p,q,r}	考克斯特（英语：Coxeter-Dynkin diagram）	胞 {p,q}	面 {p}	邊圖 {r}	頂點圖 {q,r}	χ	對偶
立方體堆砌	{4,3,4}		{4,3}	{4}	{4}	{3,4}	0	自身對偶

四維

名稱	施萊夫利 {p,q,r,s}	維面 {p,q,r}	胞 {p,q}	面 {p}	面圖 {s}	邊圖 {r,s}	頂點圖 {q,r,s}	對偶
超立方體堆砌	{4,3,3,4}	{4,3,3}	{4,3}	{4}	{4}	{3,4}	{3,3,4}	自身對偶
正十六胞體堆砌	{3,3,4,3}	{3,3,4}	{3,3}	{3}	{3}	{4,3}	{3,4,3}	{3,4,3,3}
正二十四胞體堆砌	{3,4,3,3}	{3,4,3}	{3,4}	{3}	{3}	{3,3}	{4,3,3}	{3,3,4,3}

超立方體堆砌	正十六胞體堆砌	正二十四胞體堆砌

五維

五維空間的正堆砌僅有五維超立方體堆砌{4,3,3,3,4}^[26]

名稱	施萊夫利 {p,q,r,s,t}	考克斯特（英语：Coxeter-Dynkin diagram）	維面 {p,q,r,s}	維脊 {p,q,r}	胞 {p,q}	面 {p}	邊圖 {t}	頂點圖 {s,t}	對偶
五維超立方體堆砌	{4,3,3,3,4}		{4,3,3,3}	{4,3,3}	{4,3}	{4}	{4}	{3,4}	自身對偶

六維以上

δ_n	維度	名稱	施萊夫利	考克斯特（英语：Coxeter-Dynkin diagram）
δ_n	維度	名稱	施萊夫利	原位 {∞}ⁿ (2^m色, m<n)	正 {4,3^n-1,4} (1色、n色)	網格 {4,3^n-4,3^1,1} (2色)
δ₆	五維（退化六維）	五維超立方體堆砌（英语：5-cube honeycomb）	{∞}⁵ {4,3³,4} {4,3²,3^1,1}
δ₇	六維（退化七維）	六維超立方體堆砌（英语：6-cube honeycomb）	{∞}⁶ {4,3⁴,4} {4,3³,3^1,1}
δ₈	七維（退化八維）	七維超立方體堆砌（英语：7-cube honeycomb）	{∞}⁷ {4,3⁵,4} {4,3⁴,3^1,1}
δ₉	八維（退化九維）	八維超立方體堆砌（英语：8-cube honeycomb）	{∞}⁸ {4,3⁶,4} {4,3⁵,3^1,1}

δ_n	n-1維（退化n維）	n-1維超立方體堆砌	{∞}ⁿ {4,3^n-3,4} {4,3^n-4,3^1,1}	...

雙曲

六維或以上的維度皆不存在緊空間與仿緊空間的雙曲堆砌。不過，任何的{p,q,r,s,...}形式（其中p,q,r,s,...是大於二的自然數或無限大）以上並不包括n維空間的非緊鑲嵌。

非緊鑲嵌

非緊鑲嵌的考克斯特群
維	總數	群
三維（退化四維）	∞	[3,3,7] ... [∞,∞,∞]: ... [4,3^[3]] ... [∞,∞^[3]]: ... [5,4^1,1] ... [∞^1,1,1]: ... ... [(5,4,3,3)] ... [∞^[4]]: ... ... ... [4^[]×[]] ... [∞^[]×[]]: ... ... [4^[3,3]] ... [∞^[3,3]]
四維（退化五維）	186	...[3^[3,3,3]]: ...
五維（退化六維）	66
六維（退化七維）	36	[3^1,1,1,1,1,1]: ...
七維（退化八維）	13	[3,3,3^[6]]: [3,3^[6],3]: [3,3^[2+4],3]: [3,3^[1+5],3]: [3^[ ]e×[3]]:	[4,3,3,3^3,1]: [3^1,1,3,3^3,1]: [3,(3,3,4)^1,1]: [3^2,1,3,3^2,1]:		[4,3,3,3^2,2]: [3^1,1,3,3^2,2]:
八維（退化九維）	10	[3,3^[3+4],3]: [3,3^[9]]: [3,3^[2+5],3]:	[3^2,1,3²,3^2,1]:	[3^3,1,3³,4]: [3^3,1,3,3,3^1,1]:	[3^3,3,2]: [3^2,2,4]: [3^2,2,3³,4]: [3^2,2,3,3,3^1,1]:
九維（退化十維）	8	[3,3^[8],3]: [3,3^[3+5],3]: [3,3^[9]]:	[3^2,1,3³,3^2,1]:	[3^5,3,1]: [3^3,1,3⁴,4]: [3^3,1,3³,3^1,1]:	[3^4,4,1]:
十維（退化十一維）	4		[3^2,1,3⁴,3^2,1]:	[3^2,1,3⁶,4]: [3^2,1,3⁵,3^1,1]:	[3^7,2,1]:

複合正圖形

二維複合正多邊形

n=2..10, nk≤30的複合正多邊形
2{2}	3{2}	4{2}	5{2}	6{2}	7{2}	8{2}	9{2}	10{2}	11{2}	12{2}	13{2}	14{2}	15{2}
2{3}	3{3}	4{3}	5{3}	6{3}	7{3}	8{3}	9{3}	10{3}	2{4}	3{4}	4{4}	5{4}	6{4}	7{4}
2{5}	3{5}	4{5}	5{5}	6{5}	2{5/2}	3{5/2}	4{5/2}	5{5/2}	6{5/2}	2{6}	3{6}	4{6}	5{6}
2{7}	3{7}	4{7}	2{7/2}	3{7/2}	4{7/2}	2{7/3}	3{7/3}	4{7/3}	2{8}	3{8}	2{8/3}	3{8/3}
2{9}	3{9}	2{9/2}	3{9/2}	2{9/4}	3{9/4}	2{10}	3{10}	2{10/3}	3{10/3}
2{11}	2{11/2}	2{11/3}	2{11/4}	2{11/5}	2{12}	2{12/5}	2{13}	2{13/2}	2{13/3}	2{13/4}	2{13/5}	2{13/6}
2{14}	2{14/3}	2{14/5}	2{15}（英语：Triacontagon）	2{15/2}	2{15/4}	2{15/7}

抽象正圖形

多面體	內側菱形三十面體	十二合十二面體	內側三角星化二十面體	雙三斜十二面體	凹五角錐十二面體
頂點圖	{5}, {5/2}	(5.5/2)²	{5}, {5/2}	(5.5/3)³
面	30個菱形	12個五邊形 12個五角星	20個六邊形	12個五邊形 12個五角星	20個六邊形
鑲嵌	{4, 5}	{5, 4}	{6, 5}	{5, 6}	{6, 6}
χ	−6	−6	−16	−16	−20

參見

註釋

^ 比如多邊形、多面體這種包圍有限空間的圖形
^ 退化的形狀，比如退化成平面的多面體，無法包圍住一個有限空間的圖形
^ 退化的形狀，但是由於發散因此也無法包圍住一個有限空間的圖形
^ 多個形狀組成的幾何圖形，例如二複合三角形（六角星）
^ -1維度就是空集合
^ 沒有任何一種維度存在平面的星形正鑲嵌、密鋪或堆砌。
^ 即空多胞形
^ 點可以密鋪於零維空間
^ ${\begin{cases}1,&{\mbox{維度為 }}\;2^{k}-1\\2,&{\mbox{維度為 }}\;2^{k}\\0,&{\mbox{otherwise}}\\\end{cases}}$
^ 即使一百萬邊形被畫成地球一樣大，也很難與圓形區分。
^ ^11.0 ^11.1 ^11.2 ^11.3 此無限為奇數的極限

參考文獻

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外部連結

The Platonic Solids （页面存档备份，存于互联网档案馆）
Kepler-Poinsot Polyhedra （页面存档备份，存于互联网档案馆）
Regular 4d Polytope Foldouts
Multidimensional Glossary （Look up Hexacosichoron and Hecatonicosachoron）
Polytope Viewer （页面存档备份，存于互联网档案馆）
Polytopes and optimal packing of p points in n dimensional spheres
An atlas of small regular polytopes （页面存档备份，存于互联网档案馆）

[1] 比如多邊形、多面體這種包圍有限空間的圖形

[2] 退化的形狀，比如退化成平面的多面體，無法包圍住一個有限空間的圖形

[3] 退化的形狀，但是由於發散因此也無法包圍住一個有限空間的圖形

[4] 多個形狀組成的幾何圖形，例如二複合三角形（六角星）

[5] -1維度就是空集合

[6] 沒有任何一種維度存在平面的星形正鑲嵌、密鋪或堆砌。

[7] 即空多胞形

[8] 點可以密鋪於零維空間

[11] ${\begin{cases}1,&{\mbox{維度為 }}\;2^{k}-1\\2,&{\mbox{維度為 }}\;2^{k}\\0,&{\mbox{otherwise}}\\\end{cases}}$

[30] 即使一百萬邊形被畫成地球一樣大，也很難與圓形區分。

[limit_of_odd-36] 11.0 ^11.1 ^11.2 ^11.3 此無限為奇數的極限

[Lorentzian_groups_respectively-9] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 ^1.4 ^1.5 ^1.6 George Maxwell, Sphere Packings and Hyperbolic Reflection Groups Archive.is的存檔，存档日期2013-06-30, JOURNAL OF ALGEBRA 79,78-97 （1982）

[10] Hao Chen, Jean-Philippe Labbé, Lorentzian Coxeter groups and Boyd-Maxwell ball packings, http://arxiv.org/abs/1310.8608 （页面存档备份，存于互联网档案馆）

[12] Wolcott, Luke; McTernan, Elizabeth. Imagining Negative-Dimensional Space (PDF). Bosch, Robert; McKenna, Douglas; Sarhangi, Reza (编). Proceedings of Bridges 2012: Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture. Phoenix, Arizona, USA: Tessellations Publishing: 637–642. 2012 [10 July 2015]. ISBN 978-1-938664-00-7. ISSN 1099-6702. （原始内容 (PDF)存档于2015-06-26）.

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