Kleeberg, Sohn eines Juristen und einer Lehrerin, nahm nach dem 1983 abgelegten Abitur zunächst Schauspiel- und Gesangsunterricht und war beim Stadttheater Koblenz als Regieassistent, Inspizient und Nebendarsteller tätig. Sein Vater nannte ihn bereits „Kolja“, eine alte russische Abkürzung von Nikolaj (Nikolaus). Auf Empfehlung eines Freundes wurde er Koch und absolvierte zwischen 1986 und 1989 eine Ausbildung im Restaurant Le Marron in Bonn, das einen Stern im Guide Michelin hatte. Nach der Gesellenprüfung war er unter anderem bei Eduard Hitzberger tätig, bis er sich mit Partnern erstmals im Jahr 1993 im Raum Berlin mit den Lokalen Gut Sarnow und Am Karlsbadselbstständig machte.
Das Haus Jägerstraße 54/55 in Berlin, ehemaliger Standort des VAU
Im Jahr 1996 machte ihn Josef Viehhauser zum Küchenchef im Restaurant Vau in Berlin, das im Februar 1997 eröffnete. Zunächst in angestellter Position, übernahm er das Lokal im Sommer 2002 als Inhaber.
Mitarbeiter eines Fernsehsenders, die im Vau wiederholt zu Gast waren, verschafften ihm ein erstes Engagement als Fernsehkoch. Bekannt wurde er insbesondere durch seine Auftritte in Kochshows zum Beispiel Leas KochLUST mit Léa Linster im Saarländischen Rundfunk, Kerner kocht bzw. Lanz kocht! und der Küchenschlacht im ZDF sowie in der Sendung Kocharena auf dem PrivatsenderVOX. Außerdem sah man ihn jahrelang beim Sat.1-Frühstücksfernsehen mit K3 – Kolja Kleeberg kocht.
Im September 2016 schloss Kleeberg infolge Insolvenz das VAU und teilte mit, er plane einen Neuanfang an anderer Stelle.[1] Im Januar 2017 nahm er an dem Sängerwettstreit It Takes 2 (RTL) teil. Vom 15. Oktober 2017 bis 2019 moderierte er sonntags Vormittag Die Kolja Kleeberg Show auf rbb 88.8.[2]
