Deltaèdre

Un deltaèdre est un polyèdre dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux. Le nom est issu de la lettre majuscule du grec delta (Δ), qui a la forme d'un triangle. Il existe une infinité de deltaèdres, mais de ceux-ci, seuls huit sont convexes, ayant quatre, six, huit, dix, douze, quatorze, seize et vingt faces. Le nombre de faces, arêtes et sommets est listé ci-dessous pour chacun des huit deltaèdres convexes.

Les deltaèdre ne doivent pas être confondus avec les deltoèdres (épelé avec un "o"), les polyèdres dont les faces sont des cerfs-volants.

Les huit deltaèdres convexes

Nom	Faces	Arêtes	Sommets	Configurations de sommet
Tétraèdre régulier	4	6	4	4 × 3³
Diamant triangulaire	6	9	5	2 × 3³ 3 × 3⁴
Octaèdre régulier	8	12	6	6 × 3⁴
Diamant pentagonal	10	15	7	5 × 3⁴ 2 × 3⁵
Disphénoïde adouci	12	18	8	4 × 3⁴ 4 × 3⁵
Prisme triangulaire triaugmenté	14	21	9	3 × 3⁴ 6 × 3⁵
Diamant carré gyroallongé	16	24	10	2 × 3⁴ 8 × 3⁵
Icosaèdre régulier	20	30	12	12 × 3⁵

Seuls trois deltaèdres sont des solides de Platon (polyèdres dans lesquels le nombre de faces se rencontrant à chaque sommet est constant) :

le deltaèdre à 4 faces (ou tétraèdre), dans lequel trois faces se rencontrent à chaque sommet
le deltaèdre à 8 faces (ou octaèdre), dans lequel quatre faces se rencontrent à chaque sommet
le deltaèdre à 20 faces (ou icosaèdre), dans lequel cinq faces se rencontrent à chaque sommet

Dans le deltaèdre à 6 faces, certains sommets sont de degré 3 et certains de degré 4. Dans les deltaèdres à 10, 12, 14 et 16 faces, certains sommets sont de degrés 4 et certains de degré 5. Ces cinq deltaèdres irréguliers font partie de la classe des solides de Johnson : les polyèdres convexes dont les faces sont des polygones réguliers.

Les deltaèdres maintiennent leur forme, même si les arêtes sont libres de tourner autour de leurs sommets, c’est-à-dire que les angles entre les arêtes sont fluides. Les polyèdres n'ont pas tous cette propriété : par exemple, si vous relâchez certains angles du cube, le cube peut être déformé en un prisme carré non droit.

Formes non-convexes

Il existe un nombre infini de formes non-convexes.

Quelques exemples de deltaèdres non-convexes :

Grand icosaèdre - un solide de Kepler-Poinsot.

D'autres peuvent être engendrés en ajoutant des pyramides équilatérales aux faces de ces cinq polyèdres réguliers :

triakitétraèdre équilatéral
tétrakihexaèdre équilatéral
triakioctaèdre équilatéral (octangle étoilé)
pentakidodécaèdre équilatéral
triaki-icosaèdre équilatéral

De plus, en ajoutant des pyramides inversées aux faces :

Troisième stellation de Wenninger (en) de l'icosaèdre

Grand icosaèdre (20 triangles se coupant)	Octangle étoilé (24 triangles)	Troisième stellation de l'icosaèdre (60 triangles)

Liens externes

MathWorld
Huit deltaèdres convexes (en anglais)
Deltaèdre sur mathcurve

Références

H. Martyn Cundy Deltahedra. Math. Gaz. 36, 263-266, Dec 1952. [1]
H. Martyn Cundy and A. Rollett Deltahedra. §3.11 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., pp. 142-144, 1989.
Charles W. Trigg An Infinite Class of Deltahedra, Mathematics Magazine, Vol. 51, No. 1 (Jan., 1978), pp. 55-57 [2]
Martin Gardner Fractal Music, Hypercards, and More: Mathematical Recreations, Scientific American Magazine. New York: W. H. Freeman, pp. 40, 53, and 58-60, 1992.
A. Pugh Polyhedra: A Visual Approach. Berkeley, CA: University of California Press, pp. 35-36, 1976.