La longueur de Planck ou échelle de Planck est une unité de longueur qui fait partie du système d'unités naturelles dites unités de Planck et vaut ${\displaystyle 1{,}616\ 255(18)\times 10^{-35}}$ m.

Notée ${\displaystyle \ell _{P}}$, elle est déterminée uniquement en termes des constantes fondamentales de la relativité, de la gravitation et de la mécanique quantique.

Elle représente l'échelle de longueur à laquelle une description classique — non quantique — de la gravitation cesse d'être valide, et la mécanique quantique doit être prise en compte^[1],[2].

Dans une lettre de 1953 à Ilse Rosenthal-Schneider, Einstein écrit : « L'effort pour introduire une sorte de longueur inférieure n'est, à mon avis, pas réalisable de manière satisfaisante. Il ne s'agit, à mes yeux, que d'une tentative pour instaurer un compromis bancal entre la mécanique du point et la théorie du champ. »^[3]

La longueur de Planck^[2] est aussi connue comme la longueur de Planck-Wheeler^[4] en hommage à John A. Wheeler^[5] (1911-2008), le physicien théoricien américain qui l'a étudiée en 1955^[6].

La longueur de Planck est définie comme la longueur d'onde de Compton réduite d'une particule de masse égale à la masse de Planck^[7],[8], d'où^[9] :

${\displaystyle \ell _{\mathrm {P} }={\frac {\hbar }{m_{\mathrm {P} }c}}}$

La longueur de Planck est définie par^[9],[2] :

${\displaystyle \ell _{\mathrm {P} }={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}}$,

où :

• ${\displaystyle \hbar }$ est la constante de Planck réduite
• ${\displaystyle G}$ est la constante gravitationnelle
• ${\displaystyle c}$ est la vitesse de la lumière dans le vide.

Dans le Système international d'unités^[9] :

${\displaystyle \ell _{\mathrm {P} }=1{,}616\ 255(18)\times 10^{-35}}$ m,

avec une incertitude-type relative de 1,1 × 10^-5.

Si l'on prend un point ou une particule de poussière de 1/10 mm (ce qui est à peu près la plus petite chose que l'on puisse voir à l’œil nu) et qu'on l'agrandit jusqu'à la taille de l'univers, une longueur de Planck sur cette particule serait agrandie à cette même taille de 1/10 mm. Autrement dit, sur une échelle logarithmique, le grain de poussière est à mi-chemin entre la taille de l'univers visible et la longueur de Planck.^{[pertinence contestée]}

Un hypothétique trou noir électronique aurait un rayon de l'ordre de 10^-57 m, une vingtaine d'ordres de grandeur plus petit.

La longueur de Planck est approximativement la taille d'un trou noir pour lequel les effets quantiques et gravitationnels sont à la même échelle, c'est-à-dire que sa longueur d'onde de Compton et son rayon de Schwarzschild sont du même ordre^[10],[11].

Certaines théories de gravité quantique prédisent l'apparition de mousse quantique à l'échelle de Planck, en raison des fluctuations de la métrique de l'espace-temps^[12].

On considère que la longueur de Planck est la distance mesurable la plus courte, parce que toute tentative d'observer sur des distances plus courtes, par des collisions à plus haute énergie, entraînerait inévitablement la production de trous noirs.

Pour pouvoir observer une entité physique à une échelle de longueur ${\displaystyle \ell }$ avec un faisceau lumineux, il faut une lumière dont la longueur d'onde est de l'ordre de ${\displaystyle \ell }$. Chaque photon d'un tel faisceau a une énergie de l'ordre de ${\displaystyle \hbar c/\ell }$, énergie qui déforme l'espace-temps dans son voisinage. Le rayon de Schwarzschild d'un tel photon sera alors ${\displaystyle r_{0}=2{\ell _{\mathrm {P} }}^{2}/\ell }$, où ${\displaystyle \ell _{\mathrm {P} }}$ est la longueur de Planck. Si donc on cherche à explorer des échelles de longueur plus petites que ${\displaystyle \ell _{\mathrm {P} }}$, le photon sera un trou noir de rayon supérieur à cette longueur, et donc toute observation en dessous d'une telle échelle est en réalité impossible^[13].

À cette échelle, on prévoit de violentes et imprévisibles fluctuations de la géométrie de l'espace-temps, dénuant de sens le concept de longueur et de dimensionnalité à des échelles inférieures^[14]. C'est à ces échelles de longueur qu'une fluctuation quantique peut être suffisamment violente pour créer une particule de Planck.

Une autre manière de voir la limite que représente la longueur de Planck est la suivante. Les relations d'incertitude de Heisenberg impliquent que pour « tracer des graduations » à l'échelle de la longueur de Planck, afin de les comparer aux longueurs à mesurer, il faudrait mobiliser une densité d'énergie de l'ordre de la Densité de Planck, c'est-à-dire y consacrer asymptotiquement la masse de l'Univers^[15]. De ce fait, c'est la limite pratique d'une mesure de longueur, lorsque l'énergie qui y est consacrée augmente indéfiniment.

Dans la théorie des supercordes, la longueur de Planck est l'ordre de grandeur de la longueur des cordes vibrantes qui forment les particules élémentaires. Le corollaire le plus important de ce postulat est qu'aucune longueur inférieure n'a de sens physique^[16]. La longueur des cordes l_s est reliée à la longueur de Planck par la formule ℓ_P = g_s^1/4l_s, où g_s est la constante de couplage des cordes. Contrairement à ce que son nom suggère, cette "constante" ne l'est pas, mais dépend de la valeur d'un champ scalaire dénommé dilaton.

En elle-même, cette façon de voir les choses résout certaines incompatibilités constatées lors de l'utilisation conjointe des équations de la relativité générale et de la mécanique quantique.

Certaines théories physiques fondées sur l'idée d'une distance minimale, comme la gravité quantique à boucles, nécessitent que la longueur de Planck soit un invariant relativiste. Cela implique des contraintes supplémentaires sur la théorie de la relativité, donnant naissance à une relativité doublement restreinte hypothétique^[17].

Dans la théorie de la Relativité d'échelle, proposée par Laurent Nottale, la longueur de Planck correspond à une limite objective : c'est celle au-delà de laquelle deux points sont indiscernables, ou plus précisément, c'est la limite absolue de la précision d'une mesure de longueur lorsque l'énergie qui y est consacrée tend vers l'infini. En effet, les relations d'incertitude de Heisenberg énoncent qu'il faudrait une énergie-impulsion infinie ne serait-ce que pour tracer des graduations à cette échelle, ou pour les comparer aux longueurs à mesurer^[15].

La longueur de Planck est une des quatre unités de base du système d'unités de Planck, les trois autres étant la masse (m_P), la durée (t_P), la température (T_P) et la charge (q_P) de Planck^[7],[18].

La surface de Planck est le quart de l'aire dont s'accroît l'horizon d'un trou noir sphérique lorsqu'il absorbe un bit d'information. Dans la gravitation quantique à boucles, les surfaces sont quantifiées, et la surface élémentaire est de l'ordre de la surface de Planck.

La longueur de Stoney est reliée à celle de Planck par^[7] :

${\displaystyle \ell _{\mathrm {S} }={\sqrt {\alpha }}\ell _{\mathrm {P} }}$,

où ${\displaystyle \alpha }$ est le constante de structure fine.

• [Ford 2005] (en) Kenneth W. Ford (avec un append. suppl. de Diane Goldstein), The quantum world : quantum physics for everyone [« Le monde quantique : la physique quantique pour toutes et tous »], Cambridge et Londres, HUP, hors coll., oct. 2005, 2^e éd. (1^re éd. avr. 2004), 1 vol., IX-294, ill., 15,9 × 21,6 cm (ISBN 978-0-674-01342-1 et 978-0-674-01832-7, EAN 9780674018327, OCLC 1055234635, SUDOC 083787364, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Misner, Thorne et Zurek 2009] (en) Charles W. Misner, Kip S. Thorne et Wojciech H. Zurek, « John Wheeler, relativity, and quantum information » [« John Wheeler, la relativité, et l'information quantique »], Physics Today, vol. 62, n^o 4,‎ avr. 2009, p. 40-46 (OCLC 4637055642, DOI 10.1063/1.3120895, Bibcode 2009PhT....62d..40M, résumé, lire en ligne).
• [Silverman 2008] (en) Mark P. Silverman, Quantum superposition : counterintuitive consequences of coherence, entanglement, and interference [« Superposition quantique »], Berlin et Heidelberg, Springer, coll. « The frontiers collection », janv. 2008, 1^re éd., 1 vol., XIII-378, ill. et fig., 24 cm (ISBN 978-3-540-71883-3 et 978-3-642-09097-4, EAN 9783540718833, OCLC 470941027, BNF 41247858, DOI 10.1007/978-3-540-71884-0, SUDOC 128627484, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Thorne 1994] (en) Kip S. Thorne (av.-prop. de Stephen Hawking, introd. de Frederick Seitz), Black holes and time warps : Einstein's outrageous legacy [« Trous noirs et distorsions du temps : l'héritage sulfureux d'Einstein »], Londres et New York, Picador et W. W. Norton, coll. « Commonwealth fund book program », avr. 1994, 1^re éd., 1 vol., 619, ill., 15,5 × 23,4 cm (ISBN 978-0-393-31276-8, EAN 9780393312768, OCLC 490012445, BNF 37433640, Bibcode 1994bhtw.book.....T, SUDOC 017054494, lire en ligne), glossaire, s.v.Planck-Wheeler length, area, and time.

• [Daintith 2009] (en) John Daintith (éd. et préf.), A dictionary of physics [« Un dictionnaire de physique »], Oxford et New York, OUP, coll. « Oxford reference », fév. 2009, 6^e éd., 1 vol., VIII-616, ill., 15,5 × 23,6 cm (ISBN 978-0-19-956001-1 et 978-0-19-923399-1, EAN 9780199560011, OCLC 690420708, BNF 42015993, DOI 10.1093/acref/9780199233991.001.0001, SUDOC 135645409, présentation en ligne), s.v.Planck length (lire en ligne).
• [Deza et Deza 2014] (en) Michel Marie Deza et Elena Deza, Encyclopedia of distances [« Encyclopédie des distances »], Berlin et Heidelberg, Springer, hors coll., oct. 2014, 3^e éd. (1^re éd. fév. 2009), 1 vol., XX-733, ill., 15,6 × 23,4 cm (ISBN 978-3-662-44341-5, EAN 9783662443415, OCLC 898123993, BNF 44713183, DOI 10.1007/978-3-662-44342-2, SUDOC 182433501, présentation en ligne, lire en ligne), s.v.Planck length, p. 602.
• [Taillet, Villain et Febvre 2018] Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur, hors coll., janv. 2018, 4^e éd. (1^re éd. mai 2008), 1 vol., X-956, ill., fig. et graph., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, BNF 45646901, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne), s.v.longueur de Planck, p. 439, col. 1.

• Constante physique
• Entropie des trous noirs

• [CODATA 2018] (en) Comité de données pour la science et la technologie (CODATA), « Planck length » [« Longueur de Planck »], symbole, expressions et valeur numérique de la longueur de Planck.

v · m Unités de Planck
Grandeur physique Unité de mesure Système d'unités Unité réduite Système d'unités naturelles
Constantes fondamentales	Constante gravitationnelle Constante de Planck réduite Vitesse de la lumière Constante de Boltzmann Permittivité du vide
Unités de base	Masse Longueur Temps Charge électrique Température
Dérivées de (c, G)	Masse linéique Débit massique Force Puissance
Dérivées de (c, G, ${\displaystyle \hbar }$)	Énergie Quantité de mouvement Densité Fréquence Pression Accélération Surface
Dérivées de (c, G, ${\displaystyle \epsilon _{0}}$)	Courant Tension Impédance
Particule de Planck Ère de Planck Mousse quantique Étoile de Planck

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