La notation sénaire positionnelle nécessite l'emploi de six chiffres. On utilise d'habitude les chiffres 0 à 5 du système décimal. On différencie alors les notations décimales des notations sénaires au moyen d'un indice 10 ou 6. Ainsi, 6410 = 1446, 14410 = 4006.
Notation
Numéro de puissance
Les nombres sénaire n'utilisent que six chiffres, l'augmentation des chiffres est plus rapide que les autres bases. Mais, les exposants de deux et trois sont égaux, cela peut être exprimé par : 10(6)n = 2(6)n × 3(6)n.
En particulier, six et dix ont la même structure dont les facteurs premiers ont les mêmes exposants. Aussi, six à la 4n-ième puissance (104n) est proche de dix à la 3n-ième puissance (143n). Par exemple:
Voici les premiers nombres de 1 à 40 et de 91 à 110 exprimés en notation positionnelle sénaire puis décimale.
Sénaire
1
2
3
4
5
10
11
12
13
14
15
20
21
22
23
24
25
30
31
32
Décimal
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Sénaire
33
34
35
40
41
42
43
44
45
50
51
52
53
54
55
100
101
102
103
104
Décimal
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
Sénaire
231
232
233
234
235
240
241
242
243
244
245
250
251
252
253
254
255
300
301
302
Décimal
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
Sénaire exprime six comme "10", neuf (9) comme "13" à savoir "six plus trois", dix (décimal 10) comme "14" à savoir "six plus quatre", douze (décimal 12) comme "20" à savoir "deux six", seize (décimal 16) comme "24" à savoir "deux six et quatre".
Les chiffres des multiples de trois se terminent par 3 ou 0, par exemple décimal 18 (dix-huit) est exprimée en "30" (trois six), décimal 15 (dix et cinq) est exprimée en "23" (deux six et trois), décimal 27 (deux dix et sept) est exprimée en "43" (quatre six et trois).
Numéros de plus de 100 (décimal 36), par exemple décimal 81 est exprimée en "213" pour dire "deux des six carrés, six et trois", décimal 100 est exprimée en "244" pour dire "deux des six carrés, quatre six et quatre".
Comme cela sera décrit en détail dans la section sur les fractions, le déplacement à chiffre supérieur des nombres sénaires a une relation de "quatre à neuf" (4×13 = 100).
Par conséquent, quatre 130 seront 1000, neuf 400 seront 10000, trois quarts de 1000 seront 430, deux neuvièmes de 100 seront 12.
Détection de multiples
Tous les nombres se terminant en sénaire par un chiffre représentant un multiple de 2 — soit 2, 4, 0 — sont divisibles par 2.
Tous les nombres se terminant par un chiffre représentant un multiple de 3 — soit 3 et 0 — divisibles par 3.
Si les deux derniers chiffres sont un multiple de 4 {04, 12, 20, 24, 32, 40, 44, 52, 00} — c'est un multiple de 4. Neuf (13 = 32) types en tout.
Si la somme des chiffres est un multiple de 5 — c'est un multiple de 5.
Si les deux derniers chiffres sont un multiple de 13 {13, 30, 43, 00} — c'est un multiple de 13 (neuf). 4 (= 22) types en tout.
(de même qu'en décimal, tous les nombres se terminant par un chiffre représentant un multiple de 2 — soit 2, 4, 6, 8, 0 sont divisibles par 2; et tous les nombres se terminant par un multiple de 5 — soit 5 et 0 — divisibles par 5.)
Nombre premier
Un nombre premier autre que 2 ou 3 ne peut donc se terminer en sénaire que par 1 ou 5. (en décimal un nombre premier autre que 2 ou 5 ne peut se terminer que par 1, 3, 7 ou 9).
Six est le produit de deux nombres premiers, à savoir 2 et 3. Il en résulte que certaines propriétés de la notation positionnelle sénaire rappellent celles de la notation positionnelle décimale.
Toutes les fractions dont le dénominateur ne connaît d'autre facteur premier que 2 et 3 s'expriment en sénaire avec un nombre fini de chiffres après la virgule. (comparer avec le rôle de 2 et 5 en décimal.)Six et dix sont seul nombre pair, un quart est exprimé en deux chiffres après la virgule. Ainsi, système sénaire et décimal, la position de 3 et 5 est inversée. Par exemple, "0,2" est de 1/5 (à savoir deux dixièmes) en décimal, mais 1/3 (à savoir deux sixièmes) en sénaire.
Dans la notation sénaire, réciproques des puissances de 2 sont puissances de 3, réciproques des puissances de 3 sont puissances de 2, la division par des puissances de 2 et 3 devient plus facile que toute notation. Ainsi, les puissances de 3 deviennent dominantes, les puissances de 5 deviennent faibles.
La fraction sénaire ont la caractéristique de "courte répétition" comme étant les mêmes que la fraction décimale. La fraction décimale ont 3-3 nécessite des répétitions à 3 chiffres, 3-4 nécessite des répétitions à 9 (= 3-2) chiffres. Comme ça, la fraction sénaire ont 5-2 nécessite des répétitions à 5 chiffres. Le nombre dont les répétitions atteint environ vingt-sept est de 3-5 en décimal (33, vingt-sept chiffres), 5-3 en sénaire (52, vingt-cinq chiffres).
1 / 33 (1/27 en décimal), 1/1000 en sénaire (1/216 en décimal)
Décimal : 8 ÷ 27 = 0,296296…
Sénaire : 12 ÷ 43 = 0,144
Décimal : 100 ÷ 27 = 3,703703…
Sénaire : 244 ÷ 43 = 3,412
Hexadécimal : 100 ÷ 1B = 9.7B425ED097B425ED09…
Décimal : 256 ÷ 27 = 9,481481…
Sénaire : 1104 ÷ 43 = 13,252
Décimal : 125 ÷ 216 = 0,578703703…
Sénaire : 325 ÷ 1000 = 0,325
1/5
Octal : 100 ÷ 5 = 14.63146314…
Décimal : 64 ÷ 5 = 12,8
Sénaire : 144 ÷ 5 = 20,4444…
Hexadécimal : 100 ÷ 5 = 33,3333…
Décimal : 256 ÷ 5 = 51,2
Sénaire : 1104 ÷ 5 = 123,1111…
1 / 52 (1/25 en décimal), 1/100 en décimal
Décimal : 8 ÷ 25 = 0,32
Sénaire : 12 ÷ 41 = 0,1530415304…
Hexadécimal : 100 ÷ 19 = A.3D70A3D70A…
Décimal : 256 ÷ 25 = 10,24
Sénaire : 1104 ÷ 41 = 14,1235012350…
Décimal : 53 ÷ 100 = 0,53
Sénaire : 125 ÷ 244 = 0,310251402514…
1 / 24 (1/16 en décimal)
Décimal : 11 ÷ 16 = 0,6875
Sénaire : 15 ÷ 24 = 0,4043
Décimal : 2023 ÷ 16 = 126,4375
Sénaire : 13211 ÷ 24 = 330,2343
Décimal : 6561 ÷ 16 = 410,0625
Sénaire : 50213 ÷ 24 = 1522,0213
1 / 34 (1/81 en décimal)
Décimal : 32 ÷ 81 = 0,395061728395061728…
Sénaire : 52 ÷ 213 = 0,2212
Décimal : 256 ÷ 81 = 3,160493827160493827…
Sénaire : 1104 ÷ 213 = 3,0544
Décimal : 625 ÷ 81 = 7,716049382716049382…
Sénaire : 2521 ÷ 213 = 11,4144
Dans les langues naturelles
Les cultures qui comptent en base 6 sont rares. L'examen du développement des systèmes de numération suggère une limite de numérosité à la valeur 6, conceptualisé comme formant un tout, « le poing », « au-delà des cinq doigts »[1]. Les chiffres 1 à 6 sont alors des formes pures et les nombres qui suivent sont construits ou sont des emprunts[2].
Dans les langues morehead-maro, le système de numération est lié à des rituels de comptage d'ignames[4]. Ces langues comptent sur une base six et ont des termes spécifiques pour les puissances de six ; jusqu'à 1010 = 1 000 000 en sénaire c'est-à-dire 66 = 46 656 en décimal, dans certaines de ces langues.
Certaines langues nigéro-congolaises utilisent un système sénaire, en complément d'un autre système (décimal ou vigésimal)[2]. Le proto-ouralien aurait utilisé un système sénaire, le chiffre 7 aurait été emprunté tardivement, bien que la construction des grands chiffres (8 et 9) par soustraction à partir de 10 suggère une autre hypothèse[2].
↑Juliette Blevins, « Origins of Northern Costanoan ʃak:en ‘six’:A Reconsideration of Senary Counting in Utian », International Journal of American Linguistics, vol. 71, no 1, , p. 87–101 (DOI10.1086/430579, JSTOR10.1086/430579)
↑(en) Kay Owens, « The Work of Glendon Lean on the Counting Systems of Papua New Guinea and Oceania », Mathematics Education Research Journal, vol. 13, no 1, , p. 47–71 (DOI10.1007/BF03217098, lire en ligne [archive du ])