Centrocampista, si mette in mostra nella Prem'er-Liga dal 1991 al 1998 giocando prima con il Lokomotiv e poi con lo Spartak, entrambi club di Mosca. Nel 1997 viene eletto giocatore russo dell'anno e si attira le attenzioni degli italiani della Roma, che lo porta a giocare in Serie A tra il nel 1998, acquistandolo per la cifra di 12 miliardi di lire[1].
Coi giallorossi segna un gol il 17 ottobre 1998 nella partita interna contro la Fiorentina, che la squadra capitolina perdeva 0-1 al 90', ma vincerà per 2-1 al 94'.[2] Dopo una prima stagione non del tutto convincente (21 presenze e 2 reti per lui), al suo secondo anno in Italia viene inserito nello scambio di mercato con il Perugia, che prevede il passaggio in giallorosso di Hidetoshi Nakata ed il prestito del giocatore russo alla società umbra; coi biancorossi disputa il girone di ritorno di quel campionato.
Nell'estate del 2015 Alenicev viene nominato allenatore dello Spartak Mosca, con cui raggiunge la qualificazione ai preliminari della UEFA Europa League 2016-2017. Il 5 agosto 2016 è però costretto a dimettersi dalla proprietà del club a seguito della clamorosa eliminazione ai preliminari da parte dei modesti ciprioti dell'AEK Larnaca (andata 1-1 a Cipro, ritorno 0-1 a Mosca). Viene quindi rimpiazzato dal suo vice Massimo Carrera.[3] Dall'estate del 2017 l'ex calciatore della Roma allena lo Enisej di Krasnoyarsk, club della seconda divisione russa.
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