Giovanissimo allievo di Andrey Kolmogorov all'Università statale di Mosca, nel 1957, appena diciannovenne, ha dimostrato che ogni funzione continua di più variabili può essere costruita con la composizione di un numero finito di funzioni di due variabili, risolvendo, perciò, il tredicesimo problema di Hilbert.
La congettura di Arnol'd sul numero di punti fissi nei simplettomorfismi hamiltoniani e le intersezioni lagrangiane è stata anche uno dei principali motivi per lo sviluppo dell'omologia dei Floer.
Arnol'd è noto anche per il suo stile espositivo preciso (che combinava opportunamente il rigore matematico all'intuizione fisica) e l'approccio didattico particolarmente semplice e discorsivo. I suoi scritti presentano un approccio limpido, spesso geometrico, ai classici problemi della matematica come le equazioni differenziali ordinarie. In questo senso i suoi scritti hanno migliorato significativamente lo sviluppo di nuovi settori della matematica.
Tuttavia le sue pubblicazioni sono state criticate poiché offrivano descrizioni volte a dare una interpretazione per lo più intuitiva della teoria, senza approfondire sufficientemente le modalità necessarie alla dimostrazione di taluni concetti.
Arnol'd ha mosso pesanti critiche nei confronti della tendenza dei matematici di metà '900 verso un'esasperata astrazione. Ha manifestato in maniera marcata la sua opposizione a questo approccio (che fu impiegato, come noto, dalla scuola di Nicolas Bourbaki), per gli impatti negativi sull'istruzione matematica in Francia (patria del bourbakismo), come in altre nazioni.