数学 の一分野圏論 において、極限 とは積 や引き戻し や逆極限 といった普遍的な構成たちの根底にある性質を捉えた抽象概念である。双対 的に余極限 とは非交和 、直和、余積、押し出し （英語版 ） 直極限 のような構成を一般化したものである。
極限と余極限は、強く関連した概念である普遍性 や随伴関手 と同様に、高度に抽象化された存在である。これらを理解するために、一般化される前の特定の概念を先に学ぶのがよい。
圏 C における極限と余極限はC 上の図式に関して定義される。形式的には、形がJ であるC における図式 J からC への関手
F : J → C のことである。圏J は添字圏 であるとみなし、図式F はC の対象と射をJ の形に並べたものとみなす。J の実際の対象や射は特に意味はなく―それらの繋がり方だけが意味を持っている。
圏J として使われるものは、多くの場合、小さい圏 であり、有限 であることもある。図式が小さい 、有限である などは圏J がそうであることをいう。
F : J → C をC における形がJ の図式であるとする。F への錐 とは、C の対象N と、J の対象X で添え字付けられた射の族ψX N → F (X )の組(N , ψ)のうち、全てのJ の射f : X → Y がF (f ) o ψX Y
図式F : J → C の極限 とはF への錐(L , φ)であって、他のどのF への錐(N , ψ)に対しても、一意 な射u : N → L が存在して、J の全ての対象X がφX u = ψX
A universal cone このとき、錐(N , ψ)は錐(L , φ)を経由して一意な分解射u により分解されるという。射u は仲介射 であると呼ばれることもある。
極限は普遍性によって特徴付けられる(下記 を参照)ので、普遍錐 であるということもできる。他の普遍性と同様に、上の定義は一般性が釣り合った状態であることを述べている。つまり、極限対象L は各錐がこれを経由して分解できるほどに一般性を持ち、分解が一意 であるのに十分な具体性も持っている。
極限はF への錐の圏 の終対象 であると特徴付けることもできる。
図式が極限を持たないこともある。しかし、もし図式が極限を持つならば、それは本質的に一意である。すなわち、同型 による違いを除いて一意である。このことがF の唯一の (the) 極限と呼ぶことのある理由である。
極限と錐の双対概念が余極限と余錐である。上の定義における射の向きを全て逆にすることで定義を得ることもできるが、ここでは実際に書いてみることにする。
図式F : J → C からの余錐 C の対象N と、J の各対象X で添え字付けられた射の族
ψX F (X ) → N の組(N , ψ)のうち、J の各射f : X → Y がψY F (f )= ψX
図式F : J → C の余極限 とはF からの余錐(L ,
ϕ ϕ -->
{\displaystyle \phi }
F からの他の余錐(N , ψ)についていつでも、一意的な射u : L → N が存在して、全てのJ の対象X がu o
ϕ ϕ -->
{\displaystyle \phi }
X X
A universal co-cone 余極限は普遍余錐 F からの余錐の圏 における始対象 として特徴付けることができる。
極限の場合と同様に、図式F が余極限を持てば、それは同型を除いて一意である。
極限と余極限は図式を使わずに、対象と射の集まりが与えられれば定義することができる。この場合の定義も上と同じである(上の定義ではJ の射の合成を全く使わなかったことに注意)。しかしながら、この定義は何も新しい情報をもたらさない。対象と射の集まりは(大きくなりうる)有向グラフ G を定める。そして、J をG の生成する自由圏 とすると、G の像を包含する普遍的な図式F : J → C が存在する。この図式の極限(余極限)はもとの対象と射の集まりの極限(余極限)と同じになる。
弱極限 と弱余極限 は極限と余極限の定義から仲介射の一意性を除いたものをいう。
極限の定義は実際によく使われている多くの構成を十分に包摂する一般的なものである。以下では図式F : J → C の極限(L , φ)について考える。
終対象 J が空な圏である場合は、形がJ である図式はただひとつであり、それは空である(集合論の空写像 と同様である)。空な図式の錐はC の勝手なひとつの対象のことであり、F の極限は他のどの対象もそれを経由して一意に分解する。これは終対象 の定義そのものである。積 J が離散圏 の場合は、図式F はたんにJ で添え字付けられたC の対象の族である。F の極限L はこれらの対象の積 と呼ばれる。錐を構成する射の族 φX L → F (X ) は積からの射影 と呼ばれる。例えば集合の圏 においては、積は直積集合 であり、射影は各因子への自然な射影のことである。
冪 。積の特別な場合として、図式F の対象関数がC の対象X への定数関数であるとする。この図式の極限をX のJ 乗と呼び、X J 等化子 J の対象が二つであり、恒等射以外には対象1 から対象2 への平行な二つの射からなる場合は、形がJ である図式はC における平行な射の対である。このような図式の極限はこれらの射の等化子 と呼ばれる。
核 核 は等化子の特別な場合で、射の片方がゼロ射 であるときをいう。引き戻し F が三つのC の対象X とY とZ を選び、恒等射でない射はf : X → Z とg : Y → Z のみであるとする。F の極限L は引き戻し またはファイバー積 と呼ばれる。逆極限 J を有向 半順序集合 とし(i ≤ j に対して射i → j を追加した小さな圏とみなす)、F : J op → C を図式とする。F の極限は(まぎらわしいが)逆極限 、射影極限 、有向極限 と呼ばれる。J = 1 のとき、すなわち、ひとつの対象とひとつの射からなる圏であるとき、形がJ の図式は本質的にはC のひとつの対象X のことである。対象X への錐はたんにX を余ドメインとする射である。射f : Y → X が図式X の極限であるのは、f が同型射のときであり、またそのときに限る。より一般的に、J が始対象 i を持つ圏であるとき、形がJ である任意の図式は極限をもち、それはF (i )に同型な対象のことである。このような同型はF への普遍錐を一意に定める。位相的な極限 。関数の極限はフィルター極限 の特別な場合であり、圏論的な極限とは次のような関係がある。X を位相空間 とし、F はX 上のフィルターの集合とし、x ∈ X を点とし、V (x ) ∈ F をx の近傍フィルター とし、A ∈ F をひとつのフィルターとし、
F
x
,
A
=
{
G
∈ ∈ -->
F
∣ ∣ -->
V
(
x
)
∪ ∪ -->
A
⊂ ⊂ -->
G
}
{\displaystyle F_{x,A}=\{G\in F\mid V(x)\cup A\subset G\}}
x に収束するA より細かいフィルターの集合とする。フィルターの集合F にはA ⊆ B にたいして射A → B を与えることで、圏の構造を持たせることができる。入射
I
x
,
A
:
F
x
,
A
→ → -->
F
{\displaystyle I_{x,A}:F_{x,A}\to F}
x がA の位相的な極限であるのは、A が
I
x
,
A
{\displaystyle I_{x,A}}
余極限の例は上の例の双対で与えられる。
始対象 余積 余等化子 押し出し 順極限
勝手な図式 F : J → C はC に極限(または極限)を持つこともあるし、持たないこともある。さらに、F への錐すらないこともあり、このときは普遍錐ももちろん存在しない。
圏C が J の形の極限を持つ というのは、形がJ の任意の図式の極限がC で存在することをいう。特に、圏C が
積を持つ とは全ての小さな 離散圏J に対して、J の形の極限を持つことを言う(大きな積を持つ必要はない)等化子を持つ とは
∙ ∙ -->
⇉ ⇉ -->
∙ ∙ -->
{\displaystyle \bullet \rightrightarrows \bullet }
引き戻しを持つ とは
∙ ∙ -->
→ → -->
∙ ∙ -->
← ← -->
∙ ∙ -->
{\displaystyle \bullet \rightarrow \bullet \leftarrow \bullet }
完備 J の形の極限を持つ)双対的な定義も可能である。圏が J の形の余極限を持つ とは、形がJ である全ての図式がC で余極限を持つことである。余完備圏
極限の存在定理 とは、圏C が等化子を持ち、クラスOb(J )とクラスHom(J )で添え字付けられた全ての積を持つならば、C はJ の形の全ての極限を持つという定理である。この場合、図式 F : J → C の極限は二つの射
s
,
t
:
∏ ∏ -->
i
∈ ∈ -->
O
b
(
J
)
F
(
i
)
⇉ ⇉ -->
∏ ∏ -->
f
∈ ∈ -->
H
o
m
(
J
)
F
(
c
o
d
(
f
)
)
{\displaystyle s,t:\prod _{i\in \mathrm {Ob} (J)}F(i)\rightrightarrows \prod _{f\in \mathrm {Hom} (J)}F(\mathrm {cod} (f))}
の等化子として構成することができる。ここで、s とt は
s
=
(
F
(
f
)
∘ ∘ -->
π π -->
F
(
d
o
m
(
f
)
)
)
f
∈ ∈ -->
H
o
m
(
J
)
t
=
(
π π -->
F
(
c
o
d
(
f
)
)
)
f
∈ ∈ -->
H
o
m
(
J
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}s&={\bigl (}F(f)\circ \pi _{F(\mathrm {dom} (f))}{\bigr )}_{f\in \mathrm {Hom} (J)}\\t&={\bigl (}\pi _{F(\mathrm {cod} (f))}{\bigr )}_{f\in \mathrm {Hom} (J)}.\end{aligned}}}
で与えられる。
双対的に余等化子と余積を使った余極限の存在定理 も同様に成り立つ。これらの定理はJ の形の全ての(余)極限が存在することの十分条件ではあるが、必要条件ではない。
極限と余極限は重要な普遍構成 である。C を圏とし、J を小さな添え字圏とする。関手圏 C J J であるC の図式全体からなる圏と考えることができる。対角関手
Δ Δ -->
:
C
→ → -->
C
J
{\displaystyle \Delta :{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}
とはC の対象N を値がN である定数関手 Δ(N ) : J → C に対応させる関手のことをいう。すなわち、J の各対象X にたいして、Δ(N )(X ) = N であり、J の各射 f にたいして、Δ(N )(f ) = idN
図式F : J → C が与えられたとき(C J 自然変換 ψ : Δ(N ) → F (これはたんに圏C J N からF への錐と同じものである。ψのコンポーネントは射 ψX N → F (X ) である。双対的に、自然変換ψ : F → Δ(N ) はF からN への余錐と同じものである。
極限と余極限の定義は次の形に言い直すことができる。
F の極限はΔからF への普遍射であるF の余極限はF からΔへの普遍射である
普遍的構成が持つように、極限と余極限も自然に関手性を持っている。言い換えると、形がJ (J は小さいとする)であるC における全ての図式が極限を持つとすると、極限関手
l
i
m
:
C
J
→ → -->
C
{\displaystyle \mathrm {lim} :{\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}
が存在する。ここで、この関手は各図式をその極限に写し、各自然変換η : F → G は対応する普遍錐と可換である一意な射lim η : lim F → lim G に写すものとする。この関手は対角関手
Δ : C → C J 右随伴関手 である。この随伴はN からlim F へのすべての射からなる集合とN からF へのすべての錐からなる集合の間の全単射
H
o
m
(
N
,
l
i
m
F
)
≅ ≅ -->
C
o
n
e
(
N
,
F
)
{\displaystyle \mathrm {Hom} (N,\mathrm {lim} F)\cong \mathrm {Cone} (N,F)}
で与えられる。これは変数N とF に関して自然である。この随伴の余単位射 (counit) はlim F からF への普遍錐そのものである。添え字圏J が連結 である(そして空でない)場合は、随伴の単位射 (unit) はlimがΔの左逆になるような同型射である。これはJ が連結でない場合は正しくない。例えば、J が離散圏である場合、単位射のコンポーネントは対角射 δ : N → N J
双対的に、形がJ (J は小さいとする)であるC の全ての図式が余極限を持つとき、余極限関手
c
o
l
i
m
:
C
J
→ → -->
C
{\displaystyle \mathrm {colim} :{\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}
が存在し、各図式をその余極限に写す。この関手は対角関手Δ : C → C J 左随伴 であり、自然な全単射
H
o
m
(
c
o
l
i
m
F
,
N
)
≅ ≅ -->
C
o
c
o
n
e
(
F
,
N
)
.
{\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {colim} F,N)\cong \mathrm {Cocone} (F,N).}
が存在する。この随伴の単位射はF からcolim F への普遍余錐である。J が連結で(空でない)とき、余単位射はcolimがΔの左逆となるような同型射である。
極限関手も余極限関手も共変関手 であることに注意すること。
圏C における極限や余極限はHom関手 によって集合の圏 Set における極限と関連付けることができる。このことは、部分的には、共変Hom関手Hom(N , –) : C → Set がC における極限を保存する ことから導かれる。双対性により、反変Hom関手は余極限を極限に写す。
図式F : J → C がC に極限 lim F を持つとすると、標準同型 （英語版 ）
H
o
m
(
N
,
l
i
m
F
)
≅ ≅ -->
l
i
m
H
o
m
(
N
,
F
− − -->
)
{\displaystyle \mathrm {Hom} (N,\mathrm {lim} F)\cong \mathrm {lim} \,\mathrm {Hom} (N,F-)}
が存在し、変数N に関して自然である。ここで、関手Hom(N , F –)はHom関手Hom(N , –)とF の合成である。この同型は極限錐の選び方から一意に決まる。
上の関係を使うことで、C におけるF の極限を定義することが可能である。まず、関手Hom(N , F –)の極限はN からF へのすべての錐の集合
l
i
m
H
o
m
(
N
,
F
− − -->
)
=
C
o
n
e
(
N
,
F
)
.
{\displaystyle \mathrm {lim} \,\mathrm {Hom} (N,F-)=\mathrm {Cone} (N,F).}
と同一視することができることが分かる。写像の族πX N , F ) → Hom(N , FX )をπX X C の対象L と自然同型 Φ : Hom(–, L ) → Cone(–, F )に対して、L は極限錐がΦL L F の極限である。格好良く書くと、F の極限は関手Cone(–, F ) : C → Set の表現 であるということになる。
双対的に、図式F : J → C がC に余極限colim F を持つとすると、標準同型
H
o
m
(
c
o
l
i
m
F
,
N
)
≅ ≅ -->
l
i
m
H
o
m
(
F
− − -->
,
N
)
{\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {colim} F,N)\cong \mathrm {lim} \,\mathrm {Hom} (F-,N)}
が存在し、変数N に関して自然であり、余極限錐の選択から一意に決まる。Hom(F –, N )の極限と集合Cocone(F , N )を同一視することにより、この関係から図式F の余極限を関手Cocone(F , –)の表現として定義することができる。
I を有限な圏とし、J を小さいフィルター付き圏 （英語版 ）
F : I × J → Set に対して、自然変換
c
o
l
i
m
J
l
i
m
I
F
(
i
,
j
)
→ → -->
l
i
m
I
c
o
l
i
m
J
F
(
i
,
j
)
.
{\displaystyle \mathrm {colim} _{J}\,\mathrm {lim} _{I}F(i,j)\rightarrow \mathrm {lim} _{I}\,\mathrm {colim} _{J}F(i,j).}
が存在する。言い換えると、Set におけるフィルター余極限と有限極限は交換する。
C の図式F : J → C と関手G : C → D について、合成することにより(図式は単なる関手であるので)図式GF : J → D を得る。このとき、以下は自然な疑問である。
GF の極限はF のそれとどのような関係があるのか？
関手G : C → D はCone(F )からCone(GF )への写像を誘導する。すなわち、ΨをN からF への錐とすると、G ΨはGN からGF への錐となる。関手G が F の極限を保存する とは、(L , φ)がF の極限であるときはいつでも、(GL , G φ)がGF の極限となることをいう。(注意: F の極限が存在しない場合も、G はF の極限を保存する(空虚な真 ))
関手G が' Jの形の全ての極限を保存する とは、G が任意の図式F : J → C の極限を保存することをいう。例えば、G は積を保存する、等化子を保存する、引き戻しを保存する等のように使用する。連続関手 とは全ての小さな 極限を保存する関手をいう。
同様の定義は余極限についても可能である。例えば、関手G はF の余極限を保存するとは、(L , φ)がF の余極限のときはいつでも、G (L , φ)がGF の余極限となることをいう。余連続関手 とは全ての小さな 余極限を保存する関手をいう。
C が完備圏 であるならば、上記の極限の存在定理により、関手G : C → D が連続であることは、(小さい)積と等化子を保存することと同値となる。双対的に、G が余連続であることは、(小さい)余積と余等化子を保存することと同値である。
随伴関手 について、全ての右随伴関手は連続であり全ての左随伴関手は余連続であるという重要な性質がある。随伴関手は豊富に存在しているので、連続関手や余連続関手のたくさんの例を得られる。
与えられた図式F : J → C と関手G : C → D にたいして、F とGF が特定の極限をもつならば、標準射
τF G lim F → lim GF が存在して、対応する極限錐の選択ごとに一意である。関手G がF の極限を保存することは、この写像が全単射であることと同値である。もし圏C とD がJ の形の全ての極限を持っているならば、limは関手であり、τF
τ : G lim → lim G J のコンポーネントである。関手G がJ の形の全ての極限を保存することは、τが自然同型であることと同値である。この意味で、関手G は(標準自然同型の違いを除いて)極限と交換する ということができる。
極限や余極限の保存という概念は共変 関手にだけ適用できる。反変関手についての対応する概念は余極限を極限に写す、もしくは極限を余極限に写すというものになる。
関手G : C → D が図式F : J → C の極限を持ち上げる とは、(L , φ)がGF の極限であるときはいつでも、F の極限(L ′, φ′)が存在して、G (L ′, φ′) = (L , φ)が成り立つことをいう。関手G が J の形の極限を持ち上げる とは、J の形の全ての図式の極限を持ち上げることをいう。これは、積を持ち上げる、等化子を持ち上げる、引き戻しを持ち上げる等のように使用することができる。最後に、G が極限を持ち上げる とは、全ての極限を持ち上げることをいう。余極限の持ち上げについても双対的な定義が可能である。
関手G が図式F に対して一意に極限を持ち上げる とは、F の極限でありG (L ′, φ′) = (L , φ)となるような、逆像(L ′, φ′)がただひとつ存在することをいう。G が一意に極限を持ち上げることは、それが極限を持ち上げる準忘却函手 （英語版 ）
極限を持ち上げることは、極限を保存することと明らかに関係している。G が図式F の極限を持ち上げて、GF が極限を持つとすると、F もまた極限を持ち、G はF の極限を保存する。さらに、
G がJ の形の極限を持ち上げ、D がJ の形の極限を持つならば、C はJ の形の極限を持ち、G はこれらの極限を保存するG が小さな極限を持ち上げ、D が完備であるならば、C も完備であり、G は連続であることが従う。双対的に余極限に対しても同様に成り立つ。
F : J → C を図式とする。関手G : C → D が
F の極限を創出する とは、(L , φ)がGF の極限のときはいつでも、F への錐(L ′, φ′)であって、G (L ′, φ′) = (L , φ)を満たし、さらに、この錐がF の極限となるものがただひとつ存在することをいうF の極限を反映する とは、各F への錐について、そのG による像がGF の極限であるときはいつでもF の極限であることをいう双対的に、余極限の創出と反映を定義することもできる。
以下が同値であることが容易に示せる。
関手G は極限を創出する
関手G は一意に極限を持ち上げ、極限を反映する 一意に極限を持ち上げるが、極限を創出も反映もしない関手の例も存在する。
全ての共変表現可能関手 （英語版 ） C → Set は極限を保存する(一方、余極限を保存するとは限らない)。特に連続である。
忘却関手 （英語版 ） U : Grp → Set は全ての小さな極限とフィルター余極限を創出する(そして保存する)。しかしながら、U は余積を保存しない。これは代数的な忘却関手に典型的に起きる状況である。自由関手 （英語版 ） F : Set → Grp (これは集合S にS 上の自由群 を割り当てる)は忘却関手 U の左随伴であり、そのため連続である。このことはふたつの自由群G とH の自由積 がG とH の生成集合の非交和 で生成される自由群であることを説明できる。包含関手 Ab → Grp は極限を創出するが余積は保存しない(ふたつの可換群の余積は直和 である)。
忘却関手 Top → Set は一意に極限と余極限を持ち上げるがどちらも創出しない。
Met c 連続関数 を射とする距離空間 の圏とする。忘却関手 Met c Set は有限極限を持ち上げるが、一意には持ち上げない。
古い用語では極限のことを「逆極限」や「射影極限」と呼び、余極限を「順極限」や「帰納極限」と呼ぶ。これは多くの混乱の原因となった。
現代的な用語を覚えるいくつかの方法がある。最初に、
は余極限の一種であり、
は極限の一種である。次に、「余」という接頭辞は「
Hom
{\displaystyle \operatorname {Hom} }
Hom
{\displaystyle \operatorname {Hom} }
主要項目 関手 具体的圏 圏の類 一般化 人物 関連分野 関連項目
カテゴリ
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