C における射f: X → Y を D における射 F(f): F(X) → F(Y) に対応させ、以下の性質を満たす
各対象 X ∈ C に対して F(idX) = idF(X) ,
任意の射 f: X → Y および g: Y → Z に対して F(g ∘ f) = F(g) ∘ F(f).
すなわち、関手に対して恒等射および射の合成を保存することが要請される。
反変関手
関手に似た形式を持ちながら、射を反転させる（合成を逆向きにする）ような対応が多数存在する。そこで、C から D への 反変関手（はんへんかんしゅ、contravariant functor）F が、各対象 X ∈ C を 対象 F(X) ∈ D に対応させ、各射 f: X → Y ∈ C を射 F(f): F(Y) → F(X) ∈ D に対応させるとき、以下の性質
全ての対象 X ∈ C において F(idX) = idF(X),
全ての射 f: X → Y および g: Y → Z に対して F(g ∘ f) = F(f) ∘ F(g)
を満たすものとして定義される。
注意
C の双対圏Cop を考えるならば、反変関手 F: C → D をかわりに（共変）関手 F: Cop → D（場合によっては F: C → Dop）と見ることによって、共変関手の概念だけで処理することができる。
反変関手はまれに「余関手」（よかんしゅ、cofunctor）と呼ばれることもあるが、圏論の文脈で「（圏論的）双対」（つまり「全ての矢印を逆向きにする」）を意味する接頭辞「余」の使い方とは乖離がある。（共変）関手 F は射 f: X → Y を射 F(f): F(X) → F(Y) に対応させるものだが、ここで双対を得るために全ての矢印を逆向きにするなら射 f: X ← Y に射 F(f): F(X) ← F(Y) が対応することになる。これは結局のところ普通の共変関手の概念を表している。つまり関手とは自己双対的な概念であり、字義どおりにとらえるなら余関手と関手とは同じ概念を表している。
いかなる圏 C においても、恒等関手（こうとうかんしゅ、identity functor）1C が、どの対象も射もそれ自身へうつすものとして定まる。函手 F: A → B および G: B → C に対し、それらの合成 GF: A → C を考えることができる。関手の合成は、それが定義される限り結合的である。このことから、関手が圏の圏における射となることが示される。
F, G が圏 C と D の間の（共変）関手であるとき、F から G への自然変換η は C に含まれる全ての対象 X に対し D の射 ηX: F(X) → G(X) を与える。このとき、C の任意の射 f: X → Y に対し、ηY ∘ F(f) = G(f) ∘ ηX が成り立つ。 これは即ち、以下の図式
函手 F から G への自然変換 η が存在して ηX が C に含まれる全ての対象 X に対して同型射となるとき、この自然変換は自然同型であるといい、F ≈ηG などと書く。圏 C, D の間の関手 F: C → D, G: D → C について自然同型 GF ≈ IdC, FG ≈ IdD がともに成り立つならば C と D は同等なもの（圏同値）と見なされる（さらにこれら二つの自然同型 (≈) が厳密に等号 (=) で成り立つ圏同型（英語版）を考えることもできるが、実用上これは条件として強すぎる）。
C から D への関手を対象とし、関手の間の自然変換を射とすることで関手圏Funct(C, D) が考えられる。こうして得られる圏に図式の圏や前層の圏、層の圏がある。また、群 G が作用する集合の圏は G を圏と見なしたときの Funct(G, Sets) と同値になる[1]。
圏 C の対象 X について HomC(—, X) や HomC(X, —) の形にかけるような C から Sets （または C の hom-集合の構造を表すしかるべき圏）への関手は表現可能関手とよばれる。米田の補題によって表現可能関手たちとその間の自然変換はもとの圏の構造を完全に反映していることが知られる。数学のさまざまな場面で与えられた関手が表現可能であるかどうかやどんな対象によって表現されるか、あるいはその関手が表現可能になるように圏を変形できるかということが問題になる。
圏 C から同じ圏 C への関手は、自己関手（じこかんしゅ、endofunctor）と呼ばれる。恒等関手は自己関手の自明な例である。また、圏 C から、その部分圏D への関手は、圏 C における自己関手でもある。
定関手
空でない圏 D の対象 X について、任意の圏 C から D への X が定める定関手（ていかんしゅ、constant functor）を以下のようにして構成できる： C の全ての対象を X に写し、C の全ての射を X の恒等射に写す。定関手は selection functor ともよばれる。
冪集合関手
集合の圏Sets からそれ自身への関手 P を、各集合をその冪集合へと写し、各写像 f: X → Y を写像 X ⊃ U → f(U) ⊂ Y に写すことにより考えることができる。また写像 f: X → Y を Y ⊃ U → f−1(U) ⊂ X なる写像に対応させることで反変の冪集合関手を考えることもできる。反変版の冪集合関手は2点集合によって表現されている。
点つき位相空間、すなわち基点を伴った位相空間の圏を考える。その対象は位相空間 X と X の固定した一点 x の組 (X, x) で、(X, x) から (Y, y) への射は f(x) = y となる（基点を基点に写す）連続写像f: X → Y によって与えられる。
点つき位相空間 (X, x) に対して、基本群π1(X, x) が x を基点とする X 内のループのホモトピー類のなす群として定義できる。f: (X, x) → (Y, y) が点つき位相空間の射ならば、X 内の x を基点とした全ての閉道は、y を基点とする Y 内の閉道に写される。この操作はホモトピー同値と閉道の合成とに両立するから π(X, x) から π(Y, y) への群の準同型写像を得る。ここから、点つき位相空間の圏から群の圏への関手が得られる。
基点を特に指定しない位相空間の圏では一般のパスについて（端点を固定した）ホモトピー類を考えることができる。こうして位相空間の圏から小さな圏の圏への共変関手である基本亜群Π が得られるが、これは X のそれぞれの点を基点にして得られる基本群と、パスの合成によって与えられる基点の取り替えを表現していると見なせる。連続写像 f: X → Y に対応する射 Π は函手 ΠX → ΠY になっている。
C が、D の対象のうちでさらに付加的な構造を持つものの圏として定式化されているとき、C の対象の付加的な構造を無視することで C から D への忘却関手（ぼうきゃくかんしゅ、forgetful functor）を考えることができる。忘却関手の左随伴関手になっているような関手は自由関手（じゆうかんしゅ、free functor）とよばれる。
