「一次変換 」はこの項目へ転送 されています。一次分数変換については「メビウス変換 」をご覧ください。
数学 の特に線型代数学 における線型変換 （せんけいへんかん、英 : linear transformation 一次変換 ）あるいは線型写像 （せんけいしゃぞう、英 : linear mapping 写像 である。特に任意の（零写像 でない）線型写像は「直線を直線に移す」。
抽象代数学 の言葉を用いれば、線型写像とは（体 上の加群 としての）ベクトル空間 の構造を保つ準同型 のことであり、また一つの固定された体上のベクトル空間の全体は線型写像を射 とする圏 を成す。
「線型変換」は線型写像とまったく同義と扱われる場合もあるが、始域と終域を同じくする線型写像（自己準同型 ）の意味で用いていることも少なくない。また函数解析学 の分野では、（特に無限次元空間上の）線型写像のことを「線型作用素 」（せんけいさようそ、英 : linear operator スカラー値 の線型写像はしばしば「線型汎函数 」もしくは「一次形式 」（いちじけいしき、英 : linear form , one-form1-形式 ）とも呼ばれる[ 注釈 1]
V と W とを同じ体 𝔽 ベクトル空間 とする。V から W への写像 f が、任意のベクトル x , y ∈ V スカラー c ∈ 𝔽
加法性 f (x + y ) = f (x ) + f (y )斉一次性 f (c x ) = cf (x )をともに満たすとき[ 注釈 2] f を 𝔽 線型写像 または簡単に 𝔽 f は V から W への線型写像である」などということもある[ 注釈 3]
上記の二性質を合わせて線型性 と呼び、また有限個のスカラー λi とベクトル vi に対して
線型性 :
f
(
∑
i
=
1
r
λ
i
v
i
)
=
∑
i
=
1
r
λ
i
f
(
v
i
)
{\displaystyle f{\Big (}\sum _{i=1}^{r}\lambda _{i}v_{i}{\Bigr )}=\sum _{i=1}^{r}\lambda _{i}f(v_{i})}
のような形で言及することもある。
恒等写像 （値を変えない写像）および零写像 （全てを零ベクトル へ写す写像：0-値函数）は何れも線型である。実函数 f (x ) ≔ ax a は定数) は線型である。
実函数 f (x ) ≔ x + 1アフィン にはなる）。線型変換は原点を変えない。
実函数 f (x ) ≔ x 2
m × n 行列 A は列ベクトル x ∈ ℝ n Ax ∈ ℝ m f をその表現行列 Af へ写す写像（行列表現）はそれ自身が線型写像になる（後述 ）。M ≔ M(n , ℝ n 次実正方行列 の全体がなす n 2 x ∈ M ad x : M → M を adx (y ) ≔ xy − yx で定義すると、ad x は線型写像である。さらに、M から Endℝ M ) への写像 ad: x ↦ ad x も線型である。ℝ 区間 (数学) 上の定積分 は、その区間上の実数値可積分函数の空間からの線型写像である。
不定積分 （あるいは原始函数 ）は、得られる函数が積分定数の分だけ無数に存在するため、線型写像とみなすことはそのままではできない。微分 は可微分函数全体の成す空間から函数全体の成す空間への線型写像である。確率変数 X の期待値 𝔼[X ] は
E
[
c
X
+
a
]
=
c
E
[
X
]
+
a
{\displaystyle \mathbb {E} [cX+a]=c\,\mathbb {E} [X]+a}
分散 𝕍[X ] は 𝕍[cX + a ] = c 2 𝕍[X ] で斉一次性が成り立たないので線型でない。
線型写像 f : V → W
Im
(
f
)
=
f
(
V
)
:=
{
f
(
v
)
∈
W
∣
v
∈
V
}
⊂
W
,
{\displaystyle \operatorname {Im} (f)=f(V):=\{\ f(v)\in W\mid v\in V\ \}\subset W,}
Ker
(
f
)
:=
{
v
∈
V
∣
f
(
v
)
=
0
}
⊂
V
{\displaystyle \operatorname {Ker} (f):=\{v\in V\mid f(v)=0\ \}\subset V}
をそれぞれ、f の像 (image), 核 (kernel) という。これらはそれぞれの空間の線型部分空間 であり、またこれらの次元
rk
(
f
)
:=
dim
(
Im
(
f
)
)
,
nul
(
f
)
:=
dim
(
Ker
(
f
)
)
{\displaystyle {\text{rk}}(f):=\dim \left(\operatorname {Im} (f)\right),\quad \operatorname {nul} (f):=\dim \left(\operatorname {Ker} (f)\right)}
は f のそれぞれ階数 退化次数 (nullity) と呼ばれ、有限次元のときには
dim
(
V
)
=
rk
(
f
)
+
nul
(
f
)
{\displaystyle \dim(V)=\operatorname {rk} (f)+\operatorname {nul} (f)}
なる等式を満足する（階数退化次数定理 ）。
Coker
(
f
)
:=
W
/
Im
(
f
)
{\displaystyle \operatorname {Coker} (f):=W/\operatorname {Im} (f)}
は f の余核 と呼ばれる。核および余核は線型写像 f のそれぞれ単射性 および全射性 からの「ずれ」を測るものと考えることができる。即ち、
f が単射であるための必要十分条件は Ker(f ) = {0} となることであり、f が全射であるための必要十分条件は Coker(f ) = {0} となることである。線型写像 f ∈ Hom𝔽 V , W )全単射 であるとき、 f は V から W への 𝔽 線型同型 写像あるいは 𝔽 同型 、𝔽 V, W の間に線型同型が存在するとき、V と W はベクトル空間として同型であるという。
線型写像がいくつか与えられたとき、それらから新たな線型写像を作り出す操作がいくつか存在する。
線型演算
線型写像 f , f 1 , f 2 : V → W a に対して、スカラー倍 af および和 f 1 + f 2
(
a
f
)
(
v
)
:=
a
(
f
(
v
)
)
,
(
f
1
+
f
2
)
(
v
)
:=
f
1
(
v
)
+
f
2
(
v
)
{\displaystyle (af)(v):=a(f(v)),\quad (f_{1}+f_{2})(v):=f_{1}(v)+f_{2}(v)}
で定めると、これらはまた V から W への線型写像を定める。
積
f : V → W g : W → X 合成 g ∘ f V から X への線型写像を定める。反転
線型写像 f : V → W 逆写像 f −1 : W → V 双線型写像 f : V × W → X テンソル積 空間 V ⊗ W X への線型写像 φ が
φ
(
v
⊗
w
)
:=
f
(
v
,
w
)
(
v
∈
V
,
w
∈
W
)
{\displaystyle \varphi (v\otimes w):=f(v,w)\quad (v\in V,w\in W)}
によって誘導される（テンソル積の普遍性）。
ベクトル空間 V から W への 𝔽
Hom
F
(
V
,
W
)
=
L
(
V
,
W
)
:=
{
f
:
V
→
W
∣
f
: linear
}
{\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbb {F} }(V,W)={\mathcal {L}}(V,W):=\{f\colon V\to W\mid f{\text{: linear}}\}}
などで表す。この集合 L V , W )ベクトル空間 になる。特に W ≔ 𝔽 V 上の線型汎函数の空間
V
∗
:=
L
(
V
,
F
)
{\displaystyle V^{*}:={\mathcal {L}}(V,F)}
は V の（代数的）双対空間 と呼ばれる。特にまた
L
(
V
,
W
)
≅
V
∗
⊗
W
{\displaystyle {\mathcal {L}}(V,W)\cong V^{*}\otimes W}
なる同型が成り立つ。
ベクトル空間 V から V 自身への 𝔽 f を V における 𝔽 線型変換 または 𝔽 自己準同型 V における 𝔽
End
F
(
V
)
:=
L
F
(
V
,
V
)
{\displaystyle \operatorname {End} _{F}(V):={\mathcal {L}}_{F}(V,V)}
は和と合成 に関して V 上の 𝔽 自己準同型環 と呼ばれる 𝔽 結合多元環 の構造を持つ。V 上の線型変換 f : V → V f を V 上の正則線型変換 あるいは 𝔽 自己同型 V における正則 𝔽
G
L
F
(
V
)
:=
{
f
:
V
→
V
∣
f
: automorphism
}
{\displaystyle {\mathit {GL}}_{F}(V):=\left\{f\colon V\to V\mid f{\text{: automorphism}}\right\}}
や GL (V )GL (V )V 上の一般線型群 と呼ばれる群 を成す（単位元 は恒等写像 、逆元 は逆写像 で与えられる）。
ℝ 2 における線形変換行列の例
反時計回りの90度 回転
[
0
−
1
1
0
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}}
反時計回りのθ 回転
[
cos
(
θ
)
−
sin
(
θ
)
sin
(
θ
)
cos
(
θ
)
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}}
x 軸に関する反転
[
1
0
0
−
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}
y 軸に関する反転
[
−
1
0
0
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}}}
すべての方向に長さ 2 倍
[
2
0
0
2
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix}}}
squeeze 変換
[
k
0
0
1
/
k
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}k&0\\0&1/k\end{bmatrix}}}
水平方向に剪断
[
1
m
0
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&m\\0&1\end{bmatrix}}}
y 軸への射影
[
0
0
0
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}}
成分を体 𝕂 m 行 n 列の行列をA とするとき、f (x ) = A x (x ∈ 𝕂 n 数ベクトル空間 𝕂 n 𝕂 m 𝕂 V と W が有限次元 のベクトル空間で、それぞれの空間の基底 が選ばれているならば、各ベクトルをそれらの基底に関する成分表示と同一視できるから、V から W への任意の線型写像は行列 として表すことができる。このことは、具体的な計算を可能にするという点で便利である。
V の基底を
{
v
1
,
⋯
,
v
n
}
{\displaystyle \{v_{1},\cdots ,v_{n}\}}
W の基底を
{
w
1
,
⋯
,
w
m
}
{\displaystyle \{w_{1},\cdots ,w_{m}\}}
V の要素
(
a
1
v
1
+
⋯
+
a
n
v
n
)
{\displaystyle (a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n})}
f : V → W
f
(
a
1
v
1
+
⋯
+
a
n
v
n
)
=
a
1
f
(
v
1
)
+
⋯
+
a
n
f
(
v
n
)
{\displaystyle f(a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n})=a_{1}f(v_{1})+\cdots +a_{n}f(v_{n})}
が成り立つ。各基底の行き先 f (v j
f
(
v
j
)
=
a
1
j
w
1
+
⋯
a
m
j
w
m
{\displaystyle f(v_{j})=a_{1j}w_{1}+\cdots a_{mj}w_{m}}
となるスカラー aij を (i ,j ) -成分にもつ行列を Af とすれば、この写像は、
f
(
(
v
1
,
…
,
v
n
)
[
a
1
⋮
a
n
]
)
=
(
w
1
,
…
,
w
m
)
A
f
[
a
1
⋮
a
n
]
{\displaystyle f{\Big (}(v_{1},\ldots ,v_{n}){\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}{\Bigr )}=(w_{1},\ldots ,w_{m})A_{f}{\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}}
と書くことができる。基底の変換
P
:
(
v
1
,
…
,
v
n
)
↦
(
v
1
′
,
…
,
v
n
′
)
,
Q
:
(
w
1
,
…
,
w
m
)
↦
(
w
1
′
,
…
,
w
m
′
)
{\displaystyle P\colon (v_{1},\ldots ,v_{n})\mapsto (v_{1}',\ldots ,v_{n}'),\quad Q\colon (w_{1},\ldots ,w_{m})\mapsto (w_{1}',\ldots ,w_{m}')}
を行うとき、P, Q は正則行列 で (v ′1 , …, v ′n v 1 , …, v n P , (w ′1 , …, w ′m w 1 , …, w m Q であり、
f
(
(
v
1
′
,
…
,
v
n
′
)
[
a
1
′
⋮
a
n
′
]
)
=
f
(
(
v
1
,
…
,
v
n
)
P
[
a
1
′
⋮
a
n
′
]
)
=
(
w
1
,
…
,
w
m
)
A
f
P
[
a
1
′
⋮
a
n
′
]
=
(
w
1
′
,
…
,
w
m
′
)
Q
−
1
A
f
P
[
a
1
′
⋮
a
n
′
]
{\displaystyle {\begin{aligned}f{\Big (}(v_{1}',\ldots ,v_{n}'){\begin{bmatrix}a_{1}'\\\vdots \\a_{n}'\end{bmatrix}}{\Bigr )}&=f{\Big (}(v_{1},\ldots ,v_{n})P{\begin{bmatrix}a_{1}'\\\vdots \\a_{n}'\end{bmatrix}}{\Bigr )}\\&=(w_{1},\ldots ,w_{m})A_{f}P{\begin{bmatrix}a_{1}'\\\vdots \\a_{n}'\end{bmatrix}}=(w_{1}',\ldots ,w_{m}')Q^{-1}A_{f}P{\begin{bmatrix}a_{1}'\\\vdots \\a_{n}'\end{bmatrix}}\end{aligned}}}
が成立するから、表現行列は Q −1 Af P
適当な基底を固定して各線型写像 f : V → W Af と書けば、
A
f
1
+
f
2
=
A
f
1
+
A
f
2
,
A
c
f
=
c
A
f
{\displaystyle A_{f_{1}+f_{2}}=A_{f_{1}}+A_{f_{2}},\quad A_{cf}=cA_{f}}
が成り立つから、特に 𝕂 V, W の 𝕂 n, m であるとき、
H
o
m
K
(
V
,
W
)
≅
M
a
t
(
m
,
n
;
K
)
{\displaystyle {\rm {Hom}}_{K}(V,W)\cong {\rm {Mat}}(m,n;K)}
というベクトル空間の同型が成り立つ。また、合成に関しても
A
g
∘
f
=
A
g
A
f
{\displaystyle A_{g\circ f}=A_{g}A_{f}}
（右辺は行列の積 ）となるから、特に V = W
End
K
(
V
)
≅
Mat
n
(
K
)
{\displaystyle \operatorname {End} _{K}(V)\cong \operatorname {Mat} _{n}(K)}
は結合多元環 の同型になる。これらの同型が成り立つことをもって、線型写像が行列によって表現 されるという。
一般に無限次元のベクトル空間を扱うとき、空間には付加的な構造として位相 が定められているのが普通であり、そのような空間では線型写像の連続性を考察することができる。有限次元空間上の線型写像は必ず連続であり、したがって不連続線型作用素 の概念は特に無限次元の場合において意味を持つ。
バナッハ空間 のようなノルム線型空間 では、線型写像がノルムの定める距離に関して連続となることと、そのノルムに関して有界 となることとが同値である。
ノルム空間 X 上の可微分函数 全体の成す空間 C 1 (X )上限ノルム を入れて考えるとき、函数の微分は作用素として有界でない（つまり、0 -値函数の微分が常に 0 であるにもかかわらず、値の十分小さい函数でも導函数の値が非常に大きくなるということが起こりうる）。また、可微分函数の微分は必ずしも微分可能ではないから、始域よりも終域のほうが大きく、故に函数の微分は連続にならない。
^ 一次の微分形式（一次微分形式 もしくは微分一次形式; differential one-form）を単に「一次形式」または「1-形式」(one-form) と呼ぶこともある。これとの対照のため、本項に云う意味での一次形式を「代数一次形式」(albegraic one-form) と呼ぶ場合がある。
^ 加法性から斉一次性が従うベクトル空間もあるが、一般にはそのようなことは期待できない。例えば、実数の全体 ℝ ℚ ℝ ℝ ℚ ℝ 連続性 を仮定すれば ℝ コーシーの函数方程式 の項を参照）。つまり一般には「加法性」と「斉一次性」は独立した制約条件である。
^ 考えている係数体が何であるかは線型性にとって重要である。例えば、複素数 全体の成す体 ℂ ℂ ℝ 複素共軛 をとる操作は ℂ ℝ ℂ
![{\displaystyle \mathbb {E} [cX+a]=c\,\mathbb {E} [X]+a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d83e725313f3bde4d1661a7edbc9afc6bf5abd17)
