回転行列

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線型代数において、回転行列（かいてんぎょうれつ、英: rotation matrix）とは、ユークリッド空間内における原点中心の回転変換の表現行列のことである。

2次元や3次元の回転は、幾何学、物理学、コンピュータグラフィックスの分野での計算に非常によく使われている。大半の応用で扱うのはこのふたつの場合だが、一般の次元でも回転行列を定義することができる。

n 次元空間における回転行列は、実数を成分とする正方行列であって、行列式が 1 の n 次直交行列として特徴づけられる：

${\displaystyle {}^{t}\!R=R^{-1},\;\det R=1.}$

n 次元の回転行列の全体は特殊直交群（あるいは回転群）と呼ばれる群をなす。

2次元ユークリッド空間では、原点中心の θ 回転（反時計回りを正とする）の回転行列は、以下の形で表すことができる。

${\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}}$

なぜならば、原点中心に θ 回転して点 (x, y) が (x ', y ') に写るとすると、図形的考察または三角関数の加法定理より、x ', y ' は以下のように表されることが分かる。

${\displaystyle x'=x\cos \theta -y\sin \theta }$

${\displaystyle y'=x\sin \theta +y\cos \theta }$

このことを行列の積で表すと、

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$

となるからである。

逆の回転は、回転角が −θ になるだけなので、

${\displaystyle R(-\theta )={\begin{bmatrix}\cos(-\theta )&-\sin(-\theta )\\\sin(-\theta )&\cos(-\theta )\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}}$

となる。

また回転行列には行列の指数関数を用いた表示

${\displaystyle R(\theta )=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}\right)}$

もある。

3次元空間でのx軸、y軸、z軸周りの回転を表す回転行列は、それぞれ次の通りである：

${\displaystyle R_{x}(\theta )={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle R_{y}(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0&\cos \theta \\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle R_{z}(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

ここで回転の方向は、${\displaystyle R_{x}}$ はy軸をz軸に向ける方向、${\displaystyle R_{y}}$ はz軸をx軸に向ける方向、${\displaystyle R_{z}}$ はx軸をy軸に向ける方向である。

一般の回転行列も、これら3つの各軸周りの回転行列 ${\displaystyle R_{x},R_{y},R_{z}}$ の積によって得ることができる^[1]。 例えば、次の積

${\displaystyle R_{z}(\gamma )R_{x}(\beta )R_{y}(\alpha )}$

は、yxz系で表したときのオイラー角が α, β, γ であるような回転を表す。

任意の回転行列は、ある軸 ${\displaystyle \mathbf {n} }$ まわりの角度 ${\displaystyle \theta }$ の回転という形に表示できる（オイラーの定理 (剛体) （英語版））^[2]。このような回転行列はロドリゲスの回転公式により

${\displaystyle R_{\mathbf {n} }(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta +n_{x}^{2}\left(1-\cos \theta \right)&n_{x}n_{y}\left(1-\cos \theta \right)-n_{z}\sin \theta &n_{z}n_{x}\left(1-\cos \theta \right)+n_{y}\sin \theta \\n_{x}n_{y}\left(1-\cos \theta \right)+n_{z}\sin \theta &\cos \theta +n_{y}^{2}\left(1-\cos \theta \right)&n_{y}n_{z}\left(1-\cos \theta \right)-n_{x}\sin \theta \\n_{z}n_{x}\left(1-\cos \theta \right)-n_{y}\sin \theta &n_{y}n_{z}\left(1-\cos \theta \right)+n_{x}\sin \theta &\cos \theta +n_{z}^{2}\left(1-\cos \theta \right)\\\end{bmatrix}}}$

と表示できる^[3]。また、任意のベクトル ${\displaystyle \mathbf {r} }$ へのその作用は

${\displaystyle R_{\mathbf {n} }(\theta )\mathbf {r} =\mathbf {r} \cos \theta +\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} )(1-\cos \theta )+(\mathbf {n} \times \mathbf {r} )\sin \theta }$

と書ける^{[4][注釈 1]}。

フェリックス・クラインによって考案されたケーリー・クラインのパラメータは、回転行列を4つの複素数 ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \gamma }$, ${\displaystyle \delta }$（ただし ${\displaystyle \beta =\gamma ^{*}}$, ${\displaystyle \delta =\alpha ^{*}}$を満たすものとする）を用いて

${\displaystyle R(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}(\alpha ^{2}-\gamma ^{2}+\delta ^{2}-\beta ^{2})&{\frac {i}{2}}(\gamma ^{2}-\alpha ^{2}+\delta ^{2}-\beta ^{2})&\gamma \delta -\alpha \beta \\{\frac {i}{2}}(\alpha ^{2}+\gamma ^{2}-\beta ^{2}-\delta ^{2})&{\frac {1}{2}}(\alpha ^{2}+\gamma ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})&-i(\alpha \beta +\gamma \delta )\\\beta \delta -\alpha \gamma &i(\alpha \gamma +\beta \delta )&\alpha \delta +\beta \gamma \end{bmatrix}}}$

と表示するものである^[5]。

• Goldstein, Herbert; Poole, Charles; Safko, John (2001). Classical Mechanics (third ed.). Pearson. ISBN 978-0201657029 

• 線型代数学
• 四元数
• オイラー角

• Weisstein, Eric W. "Rotation Matrix". mathworld.wolfram.com (英語).

表 話 編 歴 線型代数学・行列解析
連立一次方程式	ガウスの消去法 クラメルの公式 ガウス＝ザイデル法 ヤコビ法
ベクトル	線型独立 線型結合 基底 双対基底
ベクトル空間	双対空間 核空間 固有空間 広義固有空間 線型包 行空間 列空間 次元
計量ベクトル空間	ドット積 コーシー＝シュワルツの不等式 直交 正規直交系 正規直交基底 グラム・シュミットの正規直交化法 直交補空間
行列・線型写像	演算・操作 乗法 転置 逆行列 サラスの方法 基本変形 対角化 分解 LU QR コレスキー シューア 特異値 固有値 不変量 行列式 跡 階数 固有値と固有ベクトル 固有多項式 最小多項式 単因子 階数標準形 スミス標準形 ジョルダン標準形 有理標準形 小行列式 クラス 正則 基本 対称 エルミート 正規 直交 回転 ユニタリ 冪零 射影 正定値 ユニモジュラー 置換 区分
行列式	余因子展開 余因子行列 ヴァンデルモンドの行列式 終結式 コーシー・ビネの公式
多重線型代数	外積 外積代数 対称代数 テンソル代数
数値線形代数	基本的な概念 浮動小数点 数値的安定性 疎行列 Z-行列 M行列 条件数 ゲルシュゴリンの定理 クリロフ部分空間 ソフトウェア MATLAB 数値解析ソフトの比較/一覧 ライブラリ Armadillo Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS) INTLAB Intel oneAPI Math Kernel Library LAPACK NumPy OpenBLAS 線型代数学ライブラリの比較 反復法・技法 SOR法 共役勾配法 GMRES法 固有値問題の数値解法 ランチョス法 QR法 べき乗法 逆べき乗法 ヤコビ法 (固有値問題) シュトラッセンのアルゴリズム ハウスホルダー変換 ギブンス回転 人物 ジェームズ・H・ウィルキンソン クリーブ・モラー ニコラス・ハイアム ジーン・ゴラブ リチャード・バルガ
行列値関数	行列指数関数 行列の対数 行列の平方根
その他	スカラー ケイリー・ハミルトンの定理 ペロン＝フロベニウスの定理 シューア補行列 シルヴェスターの慣性法則
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