圏論 において、対象 の間の射 の集合（hom-set ともいう）は、集合の圏 への関手 を構成する。この関手をHom関手 （ほむかんしゅ、英語 : Hom functor ）と呼び、圏論や数学の他の分野で多くの応用を持つ。
C を局所的に小さな圏 （英語版 ） 真クラス ではなく集合 である圏 とする。C の中のすべての対象 A と B に対し、次のように集合の圏 Set
Hom (A , _) : C → Set
Hom (_, B ) : C op → Set
共変関手 Hom(A , _) は以下で与えられる：
Hom(A , _) は C の各対象 X を集合 Hom(A , X ) へ写す。Hom(A , _) は C の各射 f : X → Y
g
↦ ↦ -->
f
∘ ∘ -->
g
{\displaystyle g\mapsto f\circ g}
Hom(A , f ) : Hom(A , X ) → Hom(A , Y ) へ写す。反変関手 Hom(_, B ) は以下で与えられる：
Hom(_, B ) は C の各対象 X を集合 Hom(X , B ) へ写す。Hom(_, B ) は C の各射 h : X → Y
g
↦ ↦ -->
g
∘ ∘ -->
h
{\displaystyle g\mapsto g\circ h}
Hom(h , B ) : Hom(Y , B ) → Hom(X , B ) へ写す。
関手 Hom(_, B ) は、B の点の関手 （英語版 ） 英語 : functor of points ）とも呼ばれる。関手のペア Hom(A , _) と Hom(_, B ) は自然な 方法で関係付けられる。任意の射のペア f : B → B' h : A' → A 可換 となる。
2つの経路は g : A → B f ∘g ∘h : A' →B'
上の図式の可換性は、Hom(_, _) が C × C Set 双関手 （英語版 ） Hom(_, _) は双関手
H
o
m
-->
(
_ _ -->
,
_ _ -->
)
:
C
o
p
× × -->
C
→ → -->
S
e
t
{\displaystyle \mathop {\mathrm {Hom} } (\_,\_):C^{\mathrm {op} }\times C\to \mathbf {Set} }
C op C の逆圏 である。関手が圏 C からのものであることを強調するために、HomC という記号が使われることもある。
上の可換図式を見ると、すべての射 h : A' → A 自然変換
H
o
m
-->
(
h
,
_ _ -->
)
:
H
o
m
-->
(
A
,
_ _ -->
)
→ → -->
H
o
m
-->
(
A
′
,
_ _ -->
)
{\displaystyle \mathop {\mathrm {Hom} } (h,\_):\mathop {\mathrm {Hom} } (A,\_)\to \mathop {\mathrm {Hom} } (A',\_)}
f : B →B'
H
o
m
-->
(
_ _ -->
,
f
)
:
H
o
m
-->
(
_ _ -->
,
B
)
→ → -->
H
o
m
-->
(
_ _ -->
,
B
′
)
{\displaystyle \mathop {\mathrm {Hom} } (\_,f):\mathop {\mathrm {Hom} } (\_,B)\to \mathop {\mathrm {Hom} } (\_,B')}
米田の補題 は、Hom関手の間のすべての 自然変換はこの形であると主張する。言い換えると、Hom関手は、圏 C から関手圏 Set C op 充満かつ忠実な関手 を与える。
圏 C 上の関手が、Set C 自身に値を持ち、Hom のような振る舞いをする関手を持っているかもしれない。そのような関手は内部Hom関手 と呼ばれ、しばしば
[
_ _ -->
,
_ _ -->
]
:
C
o
p
× × -->
C
→ → -->
C
{\displaystyle \left[\_,\_\right]:C^{\mathrm {op} }\times C\to C}
と書かれたり、
⇒ ⇒ -->
:
C
o
p
× × -->
C
→ → -->
C
{\displaystyle {\mathord {\Rightarrow }}:C^{\mathrm {op} }\times C\to C}
hom
(
_ _ -->
,
_ _ -->
)
:
C
op
× × -->
C
→ → -->
C
{\displaystyle {\text{hom}}(\_,\_):C^{\text{op}}\times C\to C}
と書かれることもある。例としてはen:Category of relations などを参照。内部Hom関手を持つ圏は、閉圏 （英語版 ）
閉圏の単位対象 を I とする。このとき、次の同型が成り立つ。
Hom
(
I
,
hom
(
− − -->
,
− − -->
)
)
≃ ≃ -->
Hom
(
− − -->
,
− − -->
)
{\displaystyle {\text{Hom}}(I,{\text{hom}}(-,-))\simeq {\text{Hom}}(-,-)}
閉モノイダル圏 の場合には、これはカリー化 の概念へ拡張される。すなわち、
Hom
(
X
,
Y
⇒ ⇒ -->
Z
)
≃ ≃ -->
Hom
(
X
⊗ ⊗ -->
Y
,
Z
)
{\displaystyle {\text{Hom}}(X,Y\Rightarrow Z)\simeq {\text{Hom}}(X\otimes Y,Z)}
である。ここで
⊗ ⊗ -->
{\displaystyle \otimes }
モノイダル圏 の定義によって与えられる内部積関手 である。同型は X と Z の双方で自然である。言い換えると、閉モノイダル圏では、内部Hom関手は内部積関手の随伴関手 である。対象
Y
⇒ ⇒ -->
Z
{\displaystyle Y\Rightarrow Z}
内部Hom と呼ぶ。
⊗ ⊗ -->
{\displaystyle \otimes }
デカルト積
× × -->
{\displaystyle \times }
Y
⇒ ⇒ -->
Z
{\displaystyle Y\Rightarrow Z}
指数対象 と呼び、
Z
Y
{\displaystyle Z^{Y}}
内部Homは、圏の内部言語 （英語版 ） 言語 を形成する。最も有名なものには、デカルト閉圏の内部言語である単純型付きラムダ計算 や、対称モノイダル閉圏 の内部言語である線形型システム （英語版 ）
次の形の関手は前層 である：
H
o
m
-->
(
_ _ -->
,
A
)
:
C
o
p
→ → -->
S
e
t
{\displaystyle \mathop {\mathrm {Hom} } (\_,A):C^{\mathrm {op} }\to \mathbf {Set} }
Hom(A , _) の形の関手は余前層である。 関手 F : C → Set Hom(A , _) と自然に同型 であるとき、F は表現可能関手 であるという。同様に、Hom(_, A ) に自然同型な関手は余表現可能と呼ばれることもある。 関手 Hom(_, _) : C op × C → Set は定義からプロファンクタ （英語 : Profunctor
id
C
: : -->
C
↛ ↛ -->
C
{\displaystyle {\text{id}}_{C}\colon C\nrightarrow C}
内部hom関手は極限 を保存する。すなわち、hom(X , _) : C → C は極限を極限へ写し、同様に hom(_, X ) : C op → C は C op C の余極限）を C の極限に写す。ある意味では、このことは極限や余極限の定義として採用することもできる。 A A を A HomA A , _) は、A アーベル群 の圏 Ab 左完全 共変関手である。この関手が完全 であることと、A が射影的対象 であることとは同値である[ 1] R を環 、M を左 R -加群 とする。関手 HomR M , _) : Mod -R → Ab は、テンソル積 関手 _ ⊗R M : Ab → Mod -R の右随伴関手 である。
^ Jacobson (2009), p. 149, Prop. 3.9.
主要項目 関手 具体的圏 圏の類 一般化 人物 関連分野 関連項目
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![{\displaystyle \left[\_,\_\right]:C^{\mathrm {op} }\times C\to C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/196931ffa6d4a0d2e1adb07ba482e29fdd4f9ffa)
