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 Nota: Para outro significado de Anel, veja Anel.

Em matemática, um anel é uma estrutura algébrica que consiste em um conjunto associado a duas operações binárias, normalmente chamadas de adição e multiplicação, em que cada operação combina dois elementos para formar um terceiro elemento. Para se qualificar como um anel, o conjunto e suas duas operações devem satisfazer determinadas condições; especificamente, o conjunto deve ser um grupo abeliano sob adição e um monoide sob multiplicação tal que a multiplicação distribui sobre a adição.^[1]

Embora essas operações sejam familiares em muitas estruturas matemáticas, tais como sistemas de números ou números inteiros, elas também são muito gerais, tomando uma ampla variedade de objetos matemáticos. A onipresença dos anéis os torna um princípio organizador central da matemática contemporânea. O ramo da matemática que estuda os anéis é conhecido como teoria dos anéis.

Um anel é uma estrutura algébrica que consiste numa tripla ${\displaystyle (A,+,\cdot )}$, o conjunto ${\displaystyle A}$ com um elemento ${\displaystyle 0}$ e duas operações binárias ${\displaystyle +}$ e ${\displaystyle \cdot }$ que satisfazem as seguintes condições:

1. Associatividade de ${\displaystyle +:}$ ${\displaystyle (\forall a,b,c\in A):(a+b)+c=a+(b+c)}$
2. Existência de elemento neutro (0) de ${\displaystyle +:}$ ${\displaystyle (\forall a\in A):a+0=0+a=a}$
3. Existência de simétrico de ${\displaystyle +:}$ ${\displaystyle (\forall a\in A)(\exists b\in A):a+b=0}$
4. Comutatividade de ${\displaystyle +:}$ ${\displaystyle (\forall a,b\in A):a+b=b+a}$
5. Associatividade de ${\displaystyle \cdot :}$ ${\displaystyle (\forall a,b,c\in A):(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$
6. Distributividade de ${\displaystyle \cdot }$ em relação a ${\displaystyle +}$ (à esquerda e à direita): ${\displaystyle (\forall a,b,c\in A):a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\,\wedge \,(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}$

Dentro desta estrutura, em particular, temos que ${\displaystyle (A,+)}$ é um grupo abeliano (comutativo).

E ${\displaystyle (A,\cdot )}$ é semigrupo.

Além disso em ${\displaystyle (A,+,\cdot )}$ a multiplicação é distributiva em relação à adição

${\displaystyle (a+b)\cdot c=ac+bc}$

${\displaystyle c\cdot (a+b)=ca+cb}$.

Aneis que tem propriedades a mais recebem nomes específicos:

Um anel em o que grupo ${\displaystyle (A,\cdot )}$ tem identidade diferente do zero de ${\displaystyle (A,+)}$, diz-se anel de identidade.

Um anel em que o semigrupo ${\displaystyle (A,\cdot )}$ é comutativo é dito anel comutativo.

• se ${\displaystyle a+c=b+c}$ então ${\displaystyle a=b}$.
• se ${\displaystyle a+b=a}$ para algum ${\displaystyle a}$, então ${\displaystyle b=0}$.
• ${\displaystyle -(a+b)=-a-b}$.

• O conjunto ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ dos números inteiros forma um anel relativamente à adição e à multiplicação usuais. O mesmo acontece com o conjunto ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ dos números racionais, o conjunto ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dos números reais, o conjunto ${\displaystyle \mathbb {C} }$ dos números complexos e os quatérnios.
• O conjunto dos números complexos que são raízes de polinómios da forma ${\displaystyle x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+}$ ··· ${\displaystyle +a_{1}x+a_{0},}$ com coeficientes inteiros, forma um anel relativamente à adição e à multiplicação usuais, o anel dos inteiros algébricos.
• O menor anel é formado somente por ${\displaystyle 0.}$
• Seja ${\displaystyle (G,+)}$ um grupo abeliano e seja End(${\displaystyle G}$) o conjunto dos endomorfismos de ${\displaystyle G.}$ Se, dados ${\displaystyle f,g}$ ∈ End(${\displaystyle G}$), se definir a adição de ${\displaystyle f+g}$ ∈ End(${\displaystyle G}$) de ${\displaystyle f}$ com ${\displaystyle g}$ por ${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x),}$ então End(${\displaystyle G}$) é um anel relativamente às operações adição e composição.

• Se a multiplicação é comutativa, temos um anel comutativo.
• Se a multiplicação tem elemento neutro, temos um anel com identidade ou anel com unidade.
• Um anel de divisão é um anel ${\displaystyle (A,+,\;\cdot \;)}$ em que ${\displaystyle (A}$ \ {${\displaystyle 0}$}${\displaystyle ,\;\cdot \;)}$ é um grupo.
• Se a multiplicação tem elemento neutro e é idempotente, temos um anel booliano. Anéis boolianos e álgebras boolianas tem uma correspondência trivial.

Ver artigo principal: Divisor de zero

Sejam ${\displaystyle A}$ um anel e ${\displaystyle a}$ um elemento de ${\displaystyle A}$ diferente de ${\displaystyle 0.}$ Diz-se que ${\displaystyle a}$ é um divisor de zero se existir algum ${\displaystyle b}$ ∈ ${\displaystyle A}$ \ ${\displaystyle \{0\}}$ tal que ${\displaystyle a.b=0}$ ou que ${\displaystyle b.a=0.}$

Exemplos:

• O anel ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ dos números inteiros não tem divisores de zero.
• Seja ${\displaystyle n}$ um número natural maior do que ${\displaystyle 1}$ e seja ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}=\{0,,\ldots ,n-1\}}$ com a adição e o produto assim definidos: se ${\displaystyle a,b}$ ∈ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n},}$ então ${\displaystyle a+b}$ é o resto da divisão por ${\displaystyle n}$ da soma dos números inteiros ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle a.b}$ é o resto da divisão por ${\displaystyle n}$ do produto dos números inteiros ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b.}$ Então ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n},}$ tem divisores de zero quando e só quando ${\displaystyle n}$ for composto. Neste caso, se a e b forem números naturais tais que ${\displaystyle a.b=n}$ então, em ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n},}$${\displaystyle a.b=0.}$

Ver artigo principal: Ideal (teoria dos anéis)

Sejam ${\displaystyle A}$ um anel e ${\displaystyle I}$ um subconjunto não vazio de ${\displaystyle A.}$ Diz-se que ${\displaystyle I}$ é um ideal à esquerda de ${\displaystyle A}$ se

1. ${\displaystyle I\neq A}$
2. ${\displaystyle (\forall i,j\in I):i+j\in I}$
3. ${\displaystyle (\forall a\in A)(\forall i\in I):a.i\in I}$

Diz-se que ${\displaystyle I}$ é um ideal à direita de ${\displaystyle A}$ se satisfizer as duas primeiras das condições anteriores, juntamente com

${\displaystyle (\forall a\in A)(\forall i\in I):i.a\in I}$

Diz-se que ${\displaystyle I}$ é um ideal bilateral se for simultaneamente um ideal à esquerda e um ideal à direita.

Caso ${\displaystyle A}$ seja um anel comutativo, não há diferença entre os conceitos de ideal à esquerda e ideal à direita. Fala-se então somente de ideais.

Exemplos:

• Os inteiros pares formam um ideal do anel dos números inteiros. Mais geralmente, se ${\displaystyle m}$ ∈ Z\{±${\displaystyle 1}$}, o conjunto dos inteiros que são múltiplos de ${\displaystyle m}$ é um ideal do anel dos números inteiros e, de facto, todos os ideais do anel dos números inteiros. são daquela forma.
• Seja ${\displaystyle A}$ o conjunto das funções ${\displaystyle f}$ de R² em R² da forma

${\displaystyle f(x,y)=(a.x+b.y,c.x+d.y),}$

onde ${\displaystyle a,b,c,d}$ ∈ R. Então, se ${\displaystyle 0}$ for a função nula, se ${\displaystyle +}$ for a adição de funções e se ${\displaystyle .}$ for a composição, então ${\displaystyle A}$ é um anel (não comutativo). Se

${\displaystyle I=\{f\in A\,|\,f(1,0)=(0,0)\},}$

então ${\displaystyle I}$ é um ideal à esquerda, mas não é um ideal à direita.

Se ${\displaystyle A}$ for um anel e ${\displaystyle I}$ for um ideal (à esquerda ou à direita), considere-se em ${\displaystyle A}$ a relação de equivalência ∼ assim definida:

${\displaystyle a}$ ∼ ${\displaystyle b}$ se e só se ${\displaystyle a-b}$ ∈ ${\displaystyle I.}$

Se ${\displaystyle a}$ ∈ ${\displaystyle A,}$ seja ${\displaystyle a+I}$ a sua classe de equivalência; seja ${\displaystyle A/I}$ o conjunto de todas as classes de equivalência. Então, se se definir

${\displaystyle (a+I)+(b+I)=(a+b)+I,}$

${\displaystyle (A/I,+)}$ é novamente um grupo abeliano. Além disso, se ${\displaystyle I}$ for um ideal à esquerda e se ${\displaystyle a}$ ∈ ${\displaystyle A,}$ então faz sentido definir a função

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}A/I&\longrightarrow &A/I\\b+I&\mapsto &a.b+I\end{array}}}$

Analogamente, se ${\displaystyle I}$ for um ideal à direita e se ${\displaystyle a}$ ∈ ${\displaystyle A,}$ então faz sentido definir a função

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}A/I&\longrightarrow &A/I\\b+I&\mapsto &b.a+I\end{array}}}$

Caso ${\displaystyle I}$ seja um ideal bilateral, ${\displaystyle A/I}$ volta a ser um anel se se definir

${\displaystyle (a+I).(b+I)=a.b+I}$

• Teoria dos anéis
• Anel topológico, que combina a estrutura do anel com um espaço topológico, de forma que várias operações sejam contínuas.
• Domínio euclidiano, um tipo de anel onde o algoritmo de Euclides pode ser utilizado.

Referências

• R.B.J.T. Allenby (1991). Rings, Fields and Groups. [S.l.]: Butterworth-Heinemann. ISBN 0-340-54440-6 
• Atiyah M. F., Macdonald, I. G., Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont. 1969 ix+128 pp.
• Beachy, J. A. Introductory Lectures on Rings and Modules. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1999.
• T.S. Blyth and E.F. Robertson (1985). Groups, rings and fields: Algebra through practice, Book 3. [S.l.]: Cambridge university Press. ISBN 0-521-27288-2 
• Dresden, G. "Small Rings." [1]
• Ellis, G. Rings and Fields. Oxford, England: Oxford University Press, 1993.
• Goodearl, K. R., Warfield, R. B., Jr., An introduction to noncommutative Noetherian rings. London Mathematical Society Student Texts, 16. Cambridge University Press, Cambridge, 1989. xviii+303 pp. ISBN 0-521-36086-2
• Herstein, I. N., Noncommutative rings. Reprint of the 1968 original. With an afterword by Lance W. Small. Carus Mathematical Monographs, 15. Mathematical Association of America, Washington, DC, 1994. xii+202 pp. ISBN 0-88385-015-X
• Nagell, T. "Moduls, Rings, and Fields." §6 in Introduction to Number Theory. New York: Wiley, pp. 19–21, 1951
• Nathan Jacobson, Structure of rings. American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. 37. Revised edition American Mathematical Society, Providence, R.I. 1964 ix+299 pp.
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• Lam, T. Y., A first course in noncommutative rings. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 131. Springer-Verlag, New York, 2001. xx+385 pp. ISBN 0-387-95183-0
• Lam, T. Y., Exercises in classical ring theory. Second edition. Problem Books in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 2003. xx+359 pp. ISBN 0-387-00500-5
• Lam, T. Y., Lectures on modules and rings. Graduate Texts in Mathematics, 189. Springer-Verlag, New York, 1999. xxiv+557 pp. ISBN 0-387-98428-3
• Lang, Serge (2005), Undergraduate Algebra, ISBN 978-0-387-22025-3 3rd ed. , Berlin, New York: Springer-Verlag .
• Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, ISBN 978-0-521-36764-6, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 2nd ed. , Cambridge University Press 
• McConnell, J. C.; Robson, J. C. Noncommutative Noetherian rings. Revised edition. Graduate Studies in Mathematics, 30. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. xx+636 pp. ISBN 0-8218-2169-5
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• Zwillinger, D. (Ed.). "Rings." §2.6.3 in CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 141–143, 1995

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