Número bicomplexo

Na matemática, um tessarine é um número hipercomplexo da forma

${\displaystyle t=w+xi+yj+zk,\quad w,x,y,z\in \mathbb {R} }$

onde ${\displaystyle ij=ji=k,\quad i^{2}=-1,\quad j^{2}=+1.}$

Os tessarines são mais conhecidos por sua subálgebra de tessarines reais ${\displaystyle t=w+yj,}$ também chamados de números complexos hiperbólicos, que expressam a parametrização da hipérbole unitária.

James Cockle introduziu os tessarines em 1848 em uma série de artigos na Philosophical Magazine. Cockle usou os tessarines para isolar as séries de cossenos hiperbólicos e as séries de senos hiperbólicos nas séries exponenciais. Ele também mostrou como os divisores de zero surgem nos tessarines, inspirando ele a usar o termo "impossíveis."

Em 1892, Corrado Segre introduziu os números bicomplexos no Mathematische Annalen, que formam uma algebra equivalente aos tessarines (ver seção abaixo). Como números hipercomplexos comutativos, a álgebra tessarine é defendida por Clyde M. Davenport (1991, 2008) (mudou j e −k em sua tabela de multiplicação). Davenport notou o isomorfismo com a soma direta do plano de números complexos com si mesmo. Tessarines também foram aplicados no processamento de sinal digital (ver Pei (2004) e Alfsmann (2006,7). Em 2009, matemáticos provaram um teorema fundamental da álgebra tessarine: um polinômio de grau n com coeficientes tessarines tem n² raízes, contando multiplicidades.^[1]

Para o tessarine ${\displaystyle t=w+xi+yj+zk,}$ note que ${\displaystyle t=(w+xi)+(y+zi)j}$ pois ij = k. A aplicação

${\displaystyle t\mapsto {\begin{pmatrix}p&q\\q&p\end{pmatrix}},\quad p=w+xi,\quad q=y+zi}$

é uma representação linear da álgebra dos tessarines como uma subálgebra de matrizes complexas 2 × 2. Por exemplo, ik = i(ij) = (ii)j = −j na representação linear é

${\displaystyle {\begin{pmatrix}i&0\\0&i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}.}$

Note que ao contrário de muitas álgebras matriciais, esta é uma álgebra comutativa.

Em geral, os tessarines formam uma álgebra de dimensão dois sobre os números complexos com base { 1, j }.

Notas e referências

• Portal da matemática