Número imaginário

Em Matemática, um número imaginário é um número complexo com parte real igual a zero, ou seja, um número da forma b i, em que i é a unidade imaginária. Em alguns contextos, exige-se que b seja diferente de zero. O termo foi inventado por René Descartes em 1637 no seu La Géométrie para designar os números complexos em geral, e tem esse nome pelo objetivo inicialmente pejorativo: na época, acreditava-se que tais números não existissem.^[1]

Todo número complexo pode ser escrito como ${\displaystyle a+ib,}$ em que ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ são números reais e i é a unidade imaginária com a propriedade que

$${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}$$ → ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$

O número ${\displaystyle a}$ é a parte real do número complexo, e ${\displaystyle b}$ é a parte imaginária. Apesar de Descartes usar inicialmente o termo "número imaginário" para designar o que atualmente é chamado de "número complexo", o termo hoje em dia significa especificamente um número complexo com parte real igual a ${\displaystyle 0,}$ i.e. um número na forma ib. Note que, tecnicamente, ${\displaystyle 0}$ é considerado um número puramente imaginário: ${\displaystyle 0}$ é o único número complexo que é tanto real como puramente imaginário:

$${\displaystyle 0=0\times {\sqrt {-1}}}$$

Para alguns pares de estados quânticos, Alice e Bob, os pesquisadores podem adivinhar os estados com 100% de precisão, mas apenas se eles pudessem usar números imaginários em suas medições locais. Quando proibido de usar números imaginários, tornou-se impossível distinguir com precisão os dois estados.^[2]

As potências de i se repetem em ciclos de 4 valores, seguindo o padrão das primeiras potências inteiras não negativas:

$${\displaystyle i^{0}=1}$$

$${\displaystyle i^{1}=i}$$

$${\displaystyle i^{2}=-1}$$

$${\displaystyle i^{3}=i\cdot i^{2}=i\cdot (-1)=-i}$$

De forma geral, se ${\displaystyle n\in }$  ℕ , dividimos n por 4 e considera-se o resto dessa divisão como o novo expoente de ${\displaystyle i.}$ ^[3]

Por exemplo:

1. ${\displaystyle i^{244}=i^{0}=1,}$ visto que ${\displaystyle 244\div 4=61}$ e o resto da divisão é igual a 0;
2. ${\displaystyle i^{33}=i^{1}=i,}$ pois ${\displaystyle 33\div 4=8}$ e apresenta resto 1;
3. ${\displaystyle i^{50}=i^{2}=-1,}$ devido a ${\displaystyle 50\div 4=12}$ e ter como resto o valor 2;

No caso de n ser um expoente inteiro negativo, fazemos uso do conceito de inverso:

$${\displaystyle i^{-n}={\frac {1}{i^{n}}}.}$$

Referências

• «Why imaginary numbers really do exist» (em inglês) 
• «O número imaginário existe realmente?» 
• «A Introdução dos Números Complexos»