Número complexo hiperbólico

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Na matemática, os números complexos hiperbólicos são uma extensão bidimensional dos números reais definidos de forma análoga aos números complexos.^[1] A diferença geométrica principal entre os dois é que enquanto a multiplicação de números complexos respeita a norma euclidiana (quadrada) padrão (x² + y²) em R², a multiplicação de números complexos hiperbólicos respeita a norma (quadrada) de Minkowski (x² − y²).

Algebricamente os números complexos hiperbólicos têm a propriedade interessante, ausente nos números complexos, de ter idempotentes.^[1] Além disso, a coleção de todos os números complexos hiperbólicos não dá forma a um corpo, mas, em vez disso, essa estrutura está na mais larga categoria de anéis.

Um número complexo hiperbólico é um número na forma:^[1]

${\displaystyle z=x+hy\,\!}$

onde x e y são números reais e a quantidade h satisfaz:

${\displaystyle h^{2}=+1\,\!}$

Escolhendo h² = − 1 resulta nos números complexos. É esta mudança do sinal que distingue os números complexos hiperbólicos dos complexos. A quantidade h aqui não é um número real mas uma quantidade independente; isto é, não é igual a ± 1.

A coleção de todo z é chamado de plano complexo hiperbólico. A adição e a multiplicação de números complexos hiperbólicos são definidas por:

${\displaystyle (x+hy)+(u+hv)=\,\!}$ ${\displaystyle (x+u)+h(y+v)\,\!}$

${\displaystyle (x+hy)(u+hv)=\,\!}$ ${\displaystyle (xu+yv)+h(xv+yu)\,\!}$.

Essa multiplicação é comutativa, associativa e distribuitiva em relação à adição.

Exatamente como para aos números complexos, pode-se definir a noção de conjugado de um número complexo hiperbólico. Se

${\displaystyle z=x+hy\,\!}$

o conjugado de z é definido como

${\displaystyle {\overline {z}}=x-hy\,\!}$

O conjugado satisfaz a propriedades similares às do conjugado do número complexo usual. A saber,

${\displaystyle {\overline {(z+w)}}=\,\!}$ ${\displaystyle {\overline {z}}+{\overline {w}}\,\!}$

${\displaystyle {\overline {(zw)}}=\,\!}$ ${\displaystyle {\overline {z}}{\overline {w}}\,\!}$

${\displaystyle {\overline {({\overline {z}})}}=\,\!}$ ${\displaystyle z\,\!}$

Essas três propriedades implicam que o conjugado número complexo hiperbólico é um automorfismo de ordem 2. A forma quadrática de um número complexo hiperbólico z = x + hy é dada por:

${\displaystyle |z|\,\!}$ ${\displaystyle =z{\overline {z}}=\,\!}$ ${\displaystyle {\overline {z}}z=\,\!}$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}\,\!}$.

Há uma propriedade importante que está preservado pela multiplicação complexa hiperbólica:

${\displaystyle |zw|=|z||w|\,\!}$

Entretanto, essa forma quadrática não é positiva-definitiva mas tem ,em vez disso, a assinatura (1.1), então ela não é uma norma.

Os números complexos hiperbólicos são a linguagem natural para tratar da Relatividade Especial em duas dimensões; os divisores de zero representam o cone de luz da relatividade.^[1]

• Número complexo
• Quaterniões
• Quaterniões hiperbólicos

Referências