Na análise complexa, o teorema de Mittag-Leffler diz respeito à existência de funções meromorfas com polos prescritos. Por outro lado, pode ser usado para expressar qualquer função meromorfa como uma soma de frações parciais. É irmão do teorema de fatoração de Weierstrass, que afirma a existência de funções holomorfas com zeros prescritos. Tem o nome de Gösta Mittag-Leffler.

Seja ${\displaystyle D}$ um conjunto aberto em ${\displaystyle \mathbb {C} }$ e ${\displaystyle E\subset D}$ um subconjunto discreto fechado. Para cada ${\displaystyle a}$ em ${\displaystyle E}$, tem-se que ${\displaystyle p_{a}(z)}$ é um polinômio em${\displaystyle 1/(z-a)}$ . Portanto, existe uma função meromorfa ${\displaystyle f}$ em ${\displaystyle D}$ tal que para cada ${\displaystyle a\in E}$, a função ${\displaystyle f(z)-p_{a}(z)}$ tem apenas uma singularidade removível em ${\displaystyle a}$. Em especial, a principal parte da função ${\displaystyle f}$ em ${\displaystyle a}$ é ${\displaystyle p_{a}(z)}$.

Pode-se provar o teorema da seguinte forma abaixo:

Se ${\displaystyle E}$ é finito, basta dizer que ${\displaystyle f(z)=\sum _{a\in E}p_{a}(z)}$ .

E se ${\displaystyle E}$ não é finito, considera-se a soma finita ${\displaystyle S_{F}(z)=\sum _{a\in F}p_{a}(z)}$ em que ${\displaystyle F}$ é um subconjunto finito de ${\displaystyle E}$ .

Enquanto que o ${\displaystyle S_{F}(z)}$ possa não convergir na medida em que F se aproxima de E, pode-se subtrair funções racionais bem escolhidas com polos fora de D (fornecido pelo teorema de Runge), sem que altere as partes principais do ${\displaystyle S_{F}(z)}$ e de forma que a convergência seja garantida.

Supondo que deseja-se uma função meromorfa com polos simples de resíduo 1 em todos os números inteiros positivos. Com a notação vista acima, escreve-se:

${\displaystyle p_{k}={\frac {1}{z-k}}}$

e ${\displaystyle E=\mathbb {Z} ^{+}}$, o teorema de Mittag-Leffler afirma (não construtivamente) a existência de uma função meromorfa ${\displaystyle f}$ com parte principal ${\displaystyle p_{k}(z)}$ em ${\displaystyle z=k}$ para cada número inteiro positivo ${\displaystyle k}$ . Assim, a ${\displaystyle f}$ tem as propriedades desejadas. De forma mais construtiva, pode-se escrever:

${\displaystyle f(z)=z\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(z-k)}}}$.

Esta série converge normalmente em ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (como pode ser mostrado usando o teste M) para uma função meromorfa com as propriedades desejadas.

Aqui estão alguns exemplos de expansões de polos de funções meromorfas:

${\displaystyle \tan(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {8z}{(2n+1)^{2}\pi ^{2}-4z^{2}}}}$

${\displaystyle \csc(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{z-n\pi }}={\frac {1}{z}}+2z\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1}{z^{2}-(n\,\pi )^{2}}}}$

${\displaystyle \sec(z)\equiv -\csc \left(z-{\frac {\pi }{2}}\right)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n-1}}{z-\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\pi }}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n+1)\pi }{(n+{\frac {1}{2}})^{2}\pi ^{2}-z^{2}}}}$

${\displaystyle \cot(z)\equiv {\frac {\cos(z)}{\sin(z)}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{z-n\pi }}={\frac {1}{z}}+2z\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}-(k\,\pi )^{2}}}}$

${\displaystyle \csc ^{2}(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{(z-n\,\pi )^{2}}}}$

${\displaystyle \sec ^{2}(z)={\dfrac {d}{dz}}\tan(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {8((2n+1)^{2}\pi ^{2}+4z^{2})}{((2n+1)^{2}\pi ^{2}-4z^{2})^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{z\sin(z)}}={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n\neq 0}{\frac {(-1)^{n}}{\pi n(z-\pi n)}}={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n}}{\frac {2}{z^{2}-(n\,\pi )^{2}}}}$

Existe também, a partir da definição da função de Mittag-Leffler, o laplaciano ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ tal como o inverso ${\displaystyle {\mathcal {L^{-1}}}}$do mesmo. Para isso, adicionam-se parâmetros à função conforme proposto pelo matemático Prabhakar, veja as fórmulas abaixo:

• Função com 3 parâmetros:

Sendo que ${\displaystyle E_{\alpha ,\beta }^{p}(z)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\dfrac {(p)_{k}z^{k}}{\Gamma (k\alpha +\beta )k!}}}$ é a função definida por 3 parâmetros, agora basta integrar na fórmula de Laplace e temos que o laplaciano é igual a ${\displaystyle {\mathcal {L}}[s^{\alpha p-\beta }E_{\alpha \beta }^{p}(\pm \lambda t^{\alpha })]={\frac {s^{\alpha p-\beta }}{(s^{\alpha }\mp \lambda )^{p}}}}$ e para o seu inverso obtém-se ${\displaystyle {\mathcal {L^{-1}}}\left[{\frac {s^{\alpha p-\beta }}{(s^{\alpha }\mp \lambda )^{p}}}\right]=t^{\beta -1}E_{\alpha \beta }^{p}(\pm \lambda t^{\alpha })}$.

• Função com 2 parâmetros: ${\displaystyle {\mathcal {L}}[t^{\beta -1}E_{\alpha ,\beta }(-\lambda t^{\alpha })]=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\dfrac {(-\lambda )^{k}}{s^{\alpha k+\beta }}}={\frac {s^{\alpha -\beta }}{(s^{\alpha }+\lambda )}}}$ e a transformada inversa é igual a ${\displaystyle {\mathcal {L^{-1}}}\left[{\frac {s^{\alpha -\beta }}{(s^{\alpha }+\lambda )}}\right]=t^{\beta -1}E_{\alpha ,\beta }(-\lambda t^{\alpha })}$.
• Função com 1 parâmetro: ${\displaystyle {\mathcal {L}}[E_{\alpha }(-\lambda t^{\alpha })]=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\dfrac {(-\lambda )^{k}}{s^{\alpha k+1}}}={\frac {s^{\alpha -1}}{(s^{\alpha }+\lambda )}}}$ e a transformada inversa é igual a ${\displaystyle {\mathcal {L^{-1}}}\left[{\frac {s^{\alpha -1}}{(s^{\alpha }+\lambda )}}\right]=E_{\alpha }(-\lambda t^{\alpha })}$.

• Teorema de Liouville
• Função Mittag-Leffler

Referências

• Ahlfors, Lars (1953), Complex analysis, ISBN 0-07-000657-1 3rd ed. , McGraw Hill (publicado em 1979) Ahlfors, Lars (1953), Complex analysis, ISBN 0-07-000657-1 3rd ed. , McGraw Hill (publicado em 1979) .
• Oliveira, Daniela dos Santos de (2014), Derivada Fracionária e as Funções de Mittag-Leffler.

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Mittag-Leffler theorem», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer 
• Mittag-Leffler's theorem, PlanetMath.org.