O teorema de interseção de Cantor refere-se a dois teoremas intimamente relacionados em topologia geral e análise real, nomeados em homenagem a Georg Cantor,^[1] sobre interseções de sequências aninhadas decrescentes de conjuntos compactos não vazios.^[2]

• Teorema

Deixe ${\displaystyle S}$ ser um espaço topológico. Uma sequência aninhada decrescente de compactos não vazios, subconjuntos fechados de ${\displaystyle S}$ tem um cruzamento não vazio. Em outras palavras, supondo que ${\displaystyle (C_{k})_{k\geq 0}}$ é uma sequência de subconjuntos compactos e fechados não vazios de S satisfazendo

${\displaystyle C_{0}\supset C_{1}\supset \cdots \supset C_{n}\supset C_{n+1}\supset \cdots ,}$

segue que

${\displaystyle \bigcap _{k=0}^{\infty }C_{k}\neq \emptyset .}$

A condição de fechamento pode ser omitida em situações onde cada subconjunto compacto de ${\displaystyle S}$ está fechado, por exemplo quando ${\displaystyle S}$ é Hausdorff.

• Prova

Suponha, por meio de contradição, que ${\displaystyle {\textstyle \bigcap _{k=0}^{\infty }C_{k}}=\emptyset }$. Para cada ${\displaystyle k}$, deixe ${\displaystyle U_{k}=C_{0}\setminus C_{k}}$. Uma vez que ${\displaystyle {\textstyle \bigcup _{k=0}^{\infty }U_{k}}=C_{0}\setminus {\textstyle \bigcap _{k=0}^{\infty }C_{k}}}$ e ${\displaystyle {\textstyle \bigcap _{k=0}^{\infty }C_{k}}=\emptyset }$, temos ${\displaystyle {\textstyle \bigcup _{k=0}^{\infty }U_{k}}=C_{0}}$. Já que ${\displaystyle C_{k}}$ estão fechados em relação a ${\displaystyle S}$ e, portanto, também fechado em relação a ${\displaystyle C_{0}}$, the ${\displaystyle U_{k}}$, o conjunto deles complementa em ${\displaystyle C_{0}}$, estão abertos em relação a ${\displaystyle C_{0}}$.

Uma vez que ${\displaystyle C_{0}\subset S}$ é compacto e ${\displaystyle \{U_{k}\vert k\geq 0\}}$ é uma capa aberta (on ${\displaystyle C_{0}}$) de ${\displaystyle C_{0}}$, uma capa finita ${\displaystyle \{U_{k_{1}},U_{k_{2}},\ldots ,U_{k_{m}}\}}$ pode ser extraído. Deixar ${\displaystyle M=\max _{1\leq i\leq m}{k_{i}}}$. Então ${\displaystyle {\textstyle \bigcup _{i=1}^{m}U_{k_{i}}}=U_{M}}$ porque ${\displaystyle U_{1}\subset U_{2}\subset \cdots \subset U_{n}\subset U_{n+1}\cdots }$, pela hipótese de aninhamento para a coleção ${\displaystyle (C_{k})_{k\geq 0}}$. Consequentemente, ${\displaystyle C_{0}={\textstyle \bigcup _{i=1}^{m}U_{k_{i}}}=U_{M}}$. Mas então ${\displaystyle C_{M}=C_{0}\setminus U_{M}=\emptyset }$, uma contradição. ∎

Referências

Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o. v d e

• Portal da matemática