Мнимая единица

Мни́мая едини́ца — комплексное число, квадрат которого равен ${\displaystyle -1}$. В математике и физике мнимая единица обозначается латинской буквой ${\displaystyle i}$, в электротехнике — буквой ${\displaystyle j}$.

Введение мнимой единицы позволяет расширить поле вещественных чисел до поля комплексных чисел. Одной из причин введения мнимой единицы является то, что не каждое полиномиальное уравнение ${\displaystyle f(x)=0}$ с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Так, уравнение ${\displaystyle x^{2}+1=0}$ не имеет вещественных корней. Однако оказывается, что любое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами имеет комплексное решение — об этом говорит основная теорема алгебры. Существуют и другие области, в которых комплексные числа приносят большую пользу.

Исторически мнимая единица сначала была введена для решения вещественного кубического уравнения: при наличии трёх вещественных корней для получения двух из них формула Кардано требовала извлечения квадратных корней из отрицательных чисел.

Вплоть до конца XIX века наряду с символом ${\displaystyle i}$ использовалось обозначение ${\displaystyle {\sqrt {-1}},}$ однако современные источники предписывают во избежание ошибок под знаком радикала помещать только неотрицательные выражения^[1][2]. Более того, помимо мнимой единицы, существует ещё одно комплексное число, квадрат которого равен ${\displaystyle -1,}$ — число ${\displaystyle -i,}$ в паре с которым мнимая единица составляет следующие свойства:

• числа i и −i являются одновременно противоположными и обратными: последнее верно потому, что произведение этих чисел равно 1;
• i и −i комплексно сопряжены, так что их сумма (ноль) и произведение (единица) вещественны одновременно (свойства сопряжённых чисел).

Термин «мнимая единица» может употребляться не только для комплексных чисел, но и для их обобщений➤.

Степени ${\displaystyle i}$ повторяются в цикле:

${\displaystyle \ldots }$

${\displaystyle i^{-3}=i}$

${\displaystyle i^{-2}=-1}$

${\displaystyle i^{-1}=-i}$

${\displaystyle i^{0}=1}$

${\displaystyle i^{1}=i}$

${\displaystyle i^{2}=-1}$

${\displaystyle i^{3}=-i}$

${\displaystyle i^{4}=1}$

${\displaystyle \ldots }$

что может быть записано для любой степени в виде:

${\displaystyle i^{4n}=1}$

${\displaystyle i^{4n+1}=i}$

${\displaystyle i^{4n+2}=-1}$

${\displaystyle i^{4n+3}=-i}$

где n — любое целое число.

Отсюда: ${\displaystyle i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}}$, где mod 4 — это остаток от деления на 4.

Возведение в комплексную степень является многозначной функцией. Например, таковой является величина ${\displaystyle i^{i}}$, которая представляет бесконечное множество вещественных чисел (${\displaystyle i^{i}\subset \mathbb {R} }$):

${\displaystyle i^{i}=e^{-\left({\frac {\pi }{2}}+2\pi k\right)},}$ где ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$

При ${\displaystyle k=0}$ получаем число ${\displaystyle e^{-{\frac {\pi }{2}}}=0{,}20787957635...,}$ соответствующее главному значению аргумента (или главному значению комплексного натурального логарифма) мнимой единицы.

Также верно, что ${\displaystyle (-i)^{(-i)}=i^{i}}$.

Факториал мнимой единицы i можно определить как значение гамма-функции от аргумента 1 + i:

${\displaystyle i!=\Gamma (1+i)\approx 0.4980-0.1549i.}$

Также

${\displaystyle |i!|={\sqrt {\pi \over \sinh(\pi )}}\approx 0.521564...,}$^[3]

потому что |i!|² = i! i! = i! (i)! = Γ(1 + i) Γ(1 − i), что по рекуррентному соотношению гамма-функции можно переписать как i Γ(i) Γ(1 − i), а затем по формуле дополнения Эйлера — как iπ/sin πi = π/sinh π.

Основная статья: Корень (математика)

В поле комплексных чисел корень n-й степени имеет n значений. На комплексной плоскости корни из мнимой единицы находятся в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с единичным радиусом.

${\displaystyle u_{k}=\cos {\frac {{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}{n}}+i\ \sin {\frac {{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}{n}},\quad k=0,1,...,n-1}$

В частности, ${\displaystyle \{{\sqrt {i}}\}=\left\{{\frac {1+i}{\sqrt {2}}};~{\frac {-1-i}{\sqrt {2}}}\right\}}$ и ${\displaystyle \{{\sqrt[{3}]{i}}\}=\left\{-i;~{\frac {i+{\sqrt {3}}}{2}};~{\frac {i-{\sqrt {3}}}{2}}\right\}.}$

Также корни из мнимой единицы могут быть представлены в показательном виде:

${\displaystyle u_{k}=e^{\frac {({\frac {\pi }{2}}+2\pi k)i}{n}},\quad k=0,1,...,n-1.}$

В конструкции удвоения по Кэли — Диксону или в рамках алгебры по Клиффорду «мнимых единиц расширения» может быть несколько. Но в этом случае могут возникать делители нуля и иные свойства, отличные от свойств комплексного «i». Например, в теле кватернионов три антикоммутативных мнимых единицы, а также имеется бесконечно много решений уравнения ${\displaystyle x^{2}=-1}$.

Обычное обозначение — ${\displaystyle i}$, но в электро- и радиотехнике мнимую единицу принято обозначать ${\displaystyle j}$, чтобы не путать с обозначением мгновенной силы тока: ${\displaystyle i=i(t)}$^[4][5].

В языке программирования Python мнимая единица записывается как 1j.

В языке программирования Wolfram Language мнимая единица записывается как 𝕚.

• Дуальные числа и двойные числа
• Комплексный анализ
• Кватернион
• Гиперкомплексное число

• Мнимая единица // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.