Odenberg är son till direktör Ingemar Odenberg (1902–1970) och Kerstin, född Moberg (1910–1995). Han är yngre bror till Christina Odenberg, Sveriges första kvinnliga biskop.
Mellan 2003 och 2006 var Odenberg gruppledare för den moderata riksdagsgruppen, vice ordförande i riksdagens finansutskott och därmed partiets ekonomisk-politiske talesman. Samtidigt ledde han den Allians-arbetsgrupp där Odenberg tillsammans med Roger Tiefensee (centerpartist), Karin Pilsäter (folkpartist), Mats Odell (kristdemokrat) och blivande finansministern Anders Borg utformade det som skulle komma att bli grunden för regeringen Reinfeldts ekonomiska politik.
Odenberg utsågs den 24 november 2016 till ordförande i Karolinska institutets styrelse, konsistoriet.[7] Han tillträdde befattningen den 1 december samma år. Odenberg var KI:s ordförande till 2020.
Den 28 augusti 2017 meddelade Odenberg att han stod till valberedningens förfogande för att efterträda Anna Kinberg Batra som partiledare för Moderaterna.[8] Kinberg Batra efterträddes dock av Ulf Kristersson.
^Anderson, Björn: Kungl Krigsvetenskapsakademien. Svenska Krigsmanna Sällskapet (till 1805), Kungl Krigsvetenskapsakademien. 20 år med akademien och dess ledamöter 1996–2016 (Kungl. Krigsvetenskapsakademien, Stockholm 2016), s. 74.
^”Ny förste hedersledamot och styresman”, Kungliga Krigsvetenskapsakademien, länk, publicerat 2018-05-21, läst 2018-05-26.