Народився 24 серпня1991 року в місті Канелонес. Вихованець футбольної школи клубу «Сентраль Еспаньйол». Професійну футбольну кар'єру розпочав 2010 року в основній команді того ж клубу, в якій провів один сезон, взявши участь у 32 матчах чемпіонату.
2011 року приєднався до клубу «Насьйональ». Відіграв за команду з Монтевідео наступні два сезони своєї ігрової кар'єри.
2013 року уклав контракт з клубом «Фіорентина», у складі якого не зміг пробитися до основного складу. Тому протягом 2014 і першої половини 2015 року виступав на умовах оренди за інші команди Серії A«Кальярі» та «Емполі».
Повернувся до «Фіорентини» влітку 2015 року, ставши цього разу основним гравцем у середній лінії «фіалок». Протягом двох сезонів взяв участь у 78 іграх, включаючи 61 матч чемпіонату Італії.
Влітку 2017 року став гравцем міланського «Інтернаціонале», який сплатив за трансфер уругвайця 24 мільйони євро і уклав з ним чотирирічний контракт. Придбання було «під основу», і в своєму дебютному сезоні в «Інтері» Весіно провів 29 з 38 матчів у Серії A. Загалом відіграв у Мілані п'ять сезонів, останні з яких вже у статусі гравця ротації.
2 червня 2018 року був включений до заявки збірної для участі у тогорічному чемпіонаті світу в Росії, де був основним гравцем команди, взявши участь у всіх її п'яти іграх на турнірі, який для уругвайців завершився поразкою у чвертьфіналі.
