Піраміда Серпінського

Ця стаття не містить посилань на джерела. Ви можете допомогти поліпшити цю статтю, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (січень 2021)

Піраміда є тривимірним аналогом трикутника Серпінського. Змоделювати її можна шляхом вписування у тетраедр октаедрів. Довжина ребра октаедрів з кожним кроком зменшується у 2 рази. Цей процес можна продовжувати до нескінченності. У такий спосіб можна отримати фрактальний многогранник — піраміду Серпінського, що має властивість самоподібності.

Тетраедр побудований з початкового тетраедра зі стороною довжини L має таку властивість:

Загальна площа поверхні залишається постійною з кожною ітерацією.

Початкова площа поверхні (ітерація 0) тетраедра сторони довжиною L = ${\displaystyle L^{2}{\sqrt {3}}}$. На наступній ітерації, довжина сторони зменшується вдвічі:

${\displaystyle L\rightarrow {L \over 2}}$

і ще 4 таких менших тетраедрів. Таким чином, загальна площа поверхні після першої ітерації рівна:

${\displaystyle 4\left(\left({L \over 2}\right)^{2}{\sqrt {3}}\right)=4{{L^{2}} \over 4}{\sqrt {3}}=L^{2}{\sqrt {3}}.}$

Це твердження залишається істинним після кожної ітерації. Площа поверхні кожного наступного тетраедра становить 1/4 площі тетраедра в попередній ітерації, тобто в 4 рази більша, таким чином, підтримуючи сталою загальну площу поверхні.

Загальний об'єм геометрично зменшується (коефіцієнт 0,5) з кожною ітерацією і наближається до 0, при збільшенні числа ітерацій. Розмірність Гаусдорфа такої конструкції є ${\displaystyle \textstyle {\frac {\ln 4}{\ln 2}}=2}$, що узгоджується зі скінченною площею фігури.

На цю статтю не посилаються інші статті Вікіпедії. Будь ласка розставте посилання відповідно до прийнятих рекомендацій.