Ряд Лорана — двосторонній[Note 1]степеневий ряд, у який розкладається комплексна функціяf(z). Ряди Лорана застосовують для дослідження комплексної функції у тих випадках, коли розклад у ряд Тейлора не може бути застосований. Їх названо на честь П'єра Альфонса Лорана, який уперше опублікував свої дослідження цих рядів 1843 року. Карл Вейєрштрасс, можливо, застосовував такі ряди ще у 1841 році, але не опублікував своїх результатів.
Для комплексної функції f(z), аналітичної у скінченому кільці з центром у точці c, у довільній точці кільця виконується рівність:
де члени ряду an визначаються за формулою:
Шлях інтегрування γ є довільним замкненим контуром, що лежить у кільці і містить точку с.
Головною частиною ряду Лорана називаються члени з від'ємними степенями:
Правильною частиною (Тейлорівською частиною) ряду Лорана називаються члени з невід'ємними степенями:
Якщо ряд Лорана збігається, то його внутрішність області збіжності є кільцем:
У своєму кільці збіжності ряд Лорана збігається абсолютно.
Функція f(z) в певній точці допускає єдиний розклад у ряд Лорана (якщо такий розклад існує).
Теорема Лорана
Функція f(z) однозначна і аналітична в скінченому кільці в довільній точці цього кільця допускає розклад у збіжний ряд Лорана.
Ряд Лорана є зручним інструментом для оцінки поведінки функції в околі ізольованої особливої точки. Залежно від головної частини ряду, особливу точку визначають як:
усувна особлива точка, якщо головна частина не містить ненульових членів;
простий полюс, якщо головна частина має скінчену кількість членів;
істотно особлива точка, якщо головна частина має нескінчену кількість членів.
Множимо прогресію на -i/2, і ділимо обидві частини на z - i:
Як другий приклад можна розкласти в ряд Лорана квадрат вищерозглянутої функції
Для цього необхідно піднести до квадрата отриману для попереднього прикладу прогресію. Зазвичай, піднесення до степеня нескінченної прогресії є складною операцією. Однак для обчислення перших членів ряду Лорана, нам достатньо перемножити між собою перші членів вихідної прогресії:
Примітки
↑Двостророннім називають степеневий ряд, що містить доданки як додатнього, так і від'ємного степеня.