Ряд Неймана

Ряд Неймана — це ряд вигляду

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T^{n},}$

де ${\displaystyle T}$ — це деякий оператор. У цьому випадку ${\displaystyle T^{n}}$ означає суперпозицію з ${\displaystyle n}$ однакових операторів ${\displaystyle T}$. Якщо ж ${\displaystyle T}$ — елемент кільця, то ${\displaystyle T^{n}}$ означатиме ${\displaystyle n}$-й степінь елемента ${\displaystyle T}$.

Ряд Неймана є узагальненням поняття суми геометричної прогресії.

Основною властивістю ряду Неймана є те, що

${\displaystyle (I-T)^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }T^{n},}$

де ${\displaystyle I}$ — одиничний елемент. У випадку операторів для цього достатньо того, щоб лінійний обмежений оператор ${\displaystyle T}$, що діє в банаховому просторі ${\displaystyle X}$, мав норму або спектральний радіус, менший від одиниці. Так, у разі матриць цей ряд дозволяє обернути матрицю вигляду ${\displaystyle I-F}$, де ${\displaystyle \lambda _{max}(F)<1}$ — найбільше власне значення матриці ${\displaystyle F}$.

У разі кільця з одиницею конструкція, аналогічна ряду Неймана, дозволяє обертати елементи вигляду ${\displaystyle 1-p}$, де ${\displaystyle p}$ — нільпотент. У цьому випадку ряд Неймана набуває вигляду скінченної суми

${\displaystyle \sum _{n=0}^{m-1}p^{n},}$

де ${\displaystyle m}$ — індекс нільпотента ${\displaystyle p}$.

• Ряд Ліувілля — Неймана