1 + 2 + 3 + 4 + ⋯

Ряд із натуральних чисел — числовий ряд, члени якого є послідовними натуральними числами: ${\displaystyle 1+2+3+4+\ldots }$; при цьому n-а часткова сума ряду є трикутним числом:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}},}$

яке необмежено зростає при прямуванні ${\displaystyle n}$ до нескінченності. Оскільки послідовність часткових сум ряду не має скінченної границі, ряд розбіжний.

Попри розбіжність у традиційному сенсі, деякі узагальнені операції над натуральним рядом дозволяють отримати висновки, застосовні в комплексному аналізі, квантовій теорії поля і теорії струн^[1].

Спеціальні методи підсумовування, що використовуються в деяких розділах математики, дозволяють присвоїти скінченні значення розбіжним числовим рядам. Зокрема, один з таких способів надає метод, заснований на регуляризації аналітичного продовження дзета-функції Рімана і підсумовуванні за методом Рамануджана^[en], дозволяють зіставити даному ряду деяке скінченне значення^[2]:

${\displaystyle 1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}},}$

в узагальненому сенсі суми.

Частковими сумами натурального ряду є 1, 3, 6, 10, 15 і т. д. Таким чином, n-а часткова сума виражається формулою

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}.}$

Цей вираз був відомим ще Піфагору в VI столітті до н. е.^[3] Числа такого виду називають трикутними, оскільки їх можна подати у вигляді трикутника.

Нескінченна послідовність трикутних чисел прямує до ${\displaystyle +\infty }$ і, отже, нескінченна сума натурального ряду також прямує до ${\displaystyle +\infty }$. Такий результат є наслідком невиконання необхідної умови збіжності числового ряду.

У порівнянні з іншими класичними розбіжними рядами, натуральному ряду складніше приписати деяке скінченне числове значення, яке має сенс. Існує багато методів підсумовування, деякі з яких є стійкішими і потужнішими. Так, наприклад, підсумовування за Чезаро — широко відомий метод, який підсумовує помірно розбіжний ряд Гранді 1 − 1 + 1 − 1 + … і приписує йому скінченне значення 1/2. Підсумовування методом Абеля є потужнішим методом, який, крім ряду Гранді, дозволяє також підсумувати складніший знаковий ряд натуральних чисел і присвоїти йому значення 1/4.

На відміну від згаданих вище рядів, як підсумовування за Чезаро, так і метод Абеля незастосовні до натурального ряду. Ці методи працюють тільки зі збіжними і гармонічними рядами і не застосовні для ряду, часткові суми якого прямують до +∞^[4]. Більшість елементарних визначень суми розбіжного ряду є лінійними і стійкими, а будь-який лінійний і стійкий метод не може присвоїти натуральному ряду скінченного значення. Отже, потрібні розвиненіші методи, такі як регуляризація дзета-функцією або підсумовування Рамануджана.

У розділі 8 першого збірника своїх праць Рамануджан показав, що «1 + 2 + 3 + 4 + … = −1/12», використовуючи два способи^[5][6][7]. Нижче викладено простіший метод, що складається з двох етапів.

Перше ключове спостереження полягає в тому, що ряд 1 + 2 + 3 + 4 + … схожий на знаковий ряд натуральних чисел 1 − 2 + 3 − 4 + …. Попри те, що цей ряд також є розбіжним, з ним значно простіше працювати. Існує кілька класичних способів присвоїти скінченне значення цьому ряду, відомих ще з XVIII століття^[8].

Для того, щоб звести ряд 1 + 2 + 3 + 4 + … до виду 1 − 2 + 3 − 4 + …, ми можемо відняти 4 від другого члена, 8 від четвертого члена, 12 від шостого і т. д. Загальна величина, яку потрібно відняти, виражається рядом 4 + 8 + 12 + 16 + …, який виходить множенням початкового ряду 1 + 2 + 3 + 4 + … на 4. Ці вирази можна записати в алгебричній формі. Що б себою не являла «сума», введемо для неї позначення c = 1 + 2 + 3 + 4 + … помножимо отримане рівняння на 4 і віднімемо друге від першого:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}c&{}={}&1+2&&{}+3+4&&{}+5+6+\cdots ,\\4c&{}={}&4&&{}+8&&{}+12+\cdots ,\\-3c&{}={}&1-2&&{}+3-4&&{}+5-6+\cdots .\end{alignedat}}}$

Друге ключове спостереження полягає в тому, що ряд 1 − 2 + 3 − 4 + … є розкладом у степеневий ряд функції 1/(1 + x)² при x, рівному 1. Відповідно, Рамануджан робить висновок:

${\displaystyle -3c=1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{(1+1)^{2}}}={\frac {1}{4}}.}$

Поділивши обидві частини на −3, отримуємо c = −1/12.

Строго кажучи, існує неоднозначність при роботі з нескінченними рядами в разі використання методів, призначених для скінченних сум (на зразок методів, використаних вище), особливо якщо ці нескінченні ряди розбіжні. Неоднозначність полягає в тому, що якщо вставити нуль у будь-яке місце в розбіжному ряді, існує ймовірність отримати суперечливий результат. Наприклад, дія 4c = 0 + 4 + 0 + 8 + … суперечить властивостям додавання.

Одним із способів обійти цю невизначеність і тим самим обмежити позиції, куди можна вставити нуль, є присвоєння кожному члену ряду значення деякої функції.^[9] Для ряду 1 + 2 + 3 + 4 + …, кожен член n є натуральним числом, яке можна подати у вигляді функції n^−s, де s — деяка комплексна змінна. Використовуючи таке подання, можна гарантувати, що всі члени ряду послідовні. Таким чином, присвоївши s значення −1, можна виразити розглянутий ряд у строгому вигляді. Реалізація цього способу має назву регуляризації дзета-функцією.

У цьому методі, ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n}$ замінюють рядом ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}}$. Останній ряд є окремим випадком ряду Діріхле. Якщо дійсна частина s більша від 1, ряд Діріхле збіжний, і його сума являє собою дзета-функцію Рімана ζ(s). З іншого боку, якщо дійсна частина s менша або дорівнює 1, ряд Діріхле розбіжний. Зокрема, ряд 1 + 2 + 3 + 4 + ..., який виходить підстановкою s = −1, не є збіжним. Перевагою переходу до дзета-функції Рімана є те, що, використовуючи метод аналітичного продовження, її можна визначити для s ⩽ 1. Отже, ми можемо отримати значення регуляризованої дзета-функції ζ(−1) = −1/12.

Існує кілька способів довести, що ζ(−1) = −1/12. Один із методів^[10] використовує зв'язок між дзета-функцією Рімана і ета-функцією Діріхле^[en] η(s). Ета-функція виражається знакозмінним рядом Діріхле, узгоджуючись тим самим із раніше наведеними евристичними передумовами. Тоді як обидва ряди Діріхле збіжні, такі тотожності істинні:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{8}\zeta (s)&{}={}&1^{-s}+2^{-s}&&{}+3^{-s}+4^{-s}&&{}+5^{-s}+6^{-s}+\cdots ,&\\2\cdot 2^{-s}\zeta (s)&{}={}&2\cdot 2^{-s}&&{}+2\cdot 4^{-s}&&{}+2\cdot 6^{-s}+\cdots ,&\\(1-2^{1-s})\zeta (s)&{}={}&1^{-s}-2^{-s}&&{}+3^{-s}-4^{-s}&&{}+5^{-s}-6^{-s}+\cdots &=\eta (s).\end{alignedat}}}$

Тотожність ${\displaystyle (1-2^{1-s})\zeta (s)=\eta (s)}$ залишається справедливою якщо ми продовжимо обидві функції аналітично в область значень s, де записані вище ряди розбіжні. Підставляючи s = −1, одержимо −3ζ(−1) = η(−1). Відзначимо, що обчислення η(−1) є простішою задачею, оскільки значення ета-функції виражається значенням суми Абеля відповідного ряду^[11] і являє собою односторонню границю:

${\displaystyle -3\zeta (-1)=\eta (-1)=\lim _{x\nearrow 1}(1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots )=\lim _{x\nearrow 1}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}.}$

Поділивши обидві частини виразу на −3, отримуємо ζ(−1) = −1/12.

Підсумовування ряду 1 + 2 + 3 + 4 + ... методом Рамануджана також дозволяє отримати значення −1/12. У своєму другому листі до Ґ. Г. Гарді, датованому 27 лютого 1913, Рамануджан писав^[12]:

Шановний Сер, я з великим задоволенням прочитав вашого листа від 8 лютого 1913 року. Я очікував, що ви відповісте мені в тому ж стилі, що й професор математики з Лондона, який порадив мені уважно вивчити «Нескінченні ряди» Томаса Бромвіча і не потрапляти в пастку, яку приховують розбіжні ряди. … Я відповів йому, що, згідно з моєю теорією, сума нескінченного числа членів ряду 1 + 2 + 3 + 4 + ... = −1/12. Дізнавшись це, ви зразу ж вкажете в напрямку психіатричної лікарні. Запевняю, ви не зможете простежити нитку міркувань у моєму доведенні цього факту, якщо я спробую викласти їх у єдиному листі.

Метод підсумовування Рамануджана полягає в ізолюванні сталого члена у формулі Ейлера — Маклорена для часткових сум ряду. Для деякої функції f класична сума Рамануджана для ряду ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }f(k)}$ визначена як

${\displaystyle c=-{\frac {1}{2}}f(0)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(0),}$

де f^(2k−1) являє собою (2k-1)-шу похідну функції f і B_2k є 2k-м числом Бернуллі: B₂ = 1/6, B₄ = −1/30 і т. д. Приймаючи f(x) = x, перша похідна f дорівнює 1, а всі інші члени прямують до нуля, тому:^[13]

${\displaystyle c=-{\frac {1}{6}}\cdot {\frac {1}{2!}}=-{\frac {1}{12}}.}$

Для уникнення суперечностей сучасна теорія методу підсумовування Рамануджана вимагає, щоб функція f була «регулярною» в тому сенсі, що її похідні вищих порядків спадають досить швидко для того, щоб решта членів у формулі Ейлера — Маклорена прямували до 0. Рамануджан неявно мав на увазі цю властивість.^[13] Вимога регулярності допомагає уникнути використання методу підсумовування Рамануджана для рядів типу 0 + 2 + 0 + 4 + … тому, що не існує регулярної функції, яка виражалася б значеннями такого ряду. Такий ряд слід інтерпретувати з використанням регуляризації дзета-функцією.

Лінійний і стійкий метод підсумовування не в змозі присвоїти скінченне значення ряду 1 + 2 + 3 + … («Стійкий» означає, що додавання члена в початок ряду збільшує суму ряду на величину цього члена.) Це твердження можна продемонструвати так. Якщо

1 + 2 + 3 + … = x,

тоді, додаючи 0 до обох частин, отримуємо

0 + 1 + 2 + … = 0 + x = x,

виходячи зі властивості стійкості. Віднімаючи нижній ряд від верхнього, отримуємо

1 + 1 + 1 + … = x − x = 0,

виходячи зі властивості лінійності. Додаючи 0 до обох частин повторно, отримуємо

0 + 1 + 1 + 1 + … = 0

і, віднімаючи два останніх ряди, приходимо до

1 + 0 + 0 + … = 0,

що суперечить властивості стійкості.

Методи, використані вище, для підсумовування 1 + 2 + 3 + … є або тільки стійкими, або тільки лінійними. Наприклад, існує два різних методи, які називають регуляризацією дзета-функцією. Перший є стійким, але нелінійним і визначає суму a + b + c + … множини чисел як значення аналітичного продовження виразу 1/a^s + 1/b^s + 1/c^s + при s = −1. Другий метод лінійний, але нестійкий і визначає суму послідовності чисел як значення аналітичного продовження виразу a/1^s + b/2^s + c/3^s при s = 0. Обидва методи присвоюють ряду 1 + 2 + 3 + … значення суми ζ (−1) = −1/12.

Значення −1/12 зустрічається в теорії бозонних струн за спроби розрахувати можливі енергетичні рівні струни, а саме нижчий енергетичний рівень^[1].

Регуляризація ряду 1 + 2 + 3 + 4 + … також зустрічається під час розрахунку ефекту Казимира для скалярного поля в одновимірному просторі^[14]. Схожі обчислення виникають для тривимірного простору, проте в цьому випадку замість дзета-функції Рімана використовують реальні^{[уточнити]} аналітичні ряди Ейзенштейна^[15].

• Berndt, Bruce C., Srinivasa Ramanujan Aiyangar, and Robert A. Rankin. Ramanujan: letters and commentary. — American Mathematical Society, 1995. — ISBN 0-8218-0287-9.
• Hardy, G. H. Divergent Series. — Oxford University Press, 1949.
• Zee, A. Quantum field theory in a nutshell. — Princeton UP, 2003. — ISBN 0-691-01019-6.

• This Week's Finds in Mathematical Physics (Week 124) [Архівовано 21 січня 2013 у Wayback Machine.], (Week 126) [Архівовано 21 січня 2013 у Wayback Machine.], (Week 147) [Архівовано 14 листопада 2012 у Wayback Machine.], (Week 213) [Архівовано 13 березня 2022 у Wayback Machine.]
  • Euler's Proof That 1 + 2 + 3 + · · · = −1/12 [Архівовано 13 жовтня 2017 у Wayback Machine.] — By John Baez
  • John Baez (19 вересня 2008). My Favorite Numbers: 24 (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 12 травня 2013. Процитовано 5 березня 2022.
• The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation [Архівовано 6 червня 2017 у Wayback Machine.] by Terence Tao
• A recursive evaluation of zeta of negative integers [Архівовано 12 березня 2016 у Wayback Machine.] by Luboš Motl^[en]
• ASTOUNDING: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … = −1/12 [Архівовано 5 березня 2022 у Wayback Machine.] Відео Numberphile з більш ніж 1 млн переглядів
  • Sum of Natural Numbers (second proof and extra footage) [Архівовано 5 березня 2022 у Wayback Machine.] — включає демонстрацію методу Ейлера.
  • What do we get if we sum all the natural numbers? [Архівовано 12 вересня 2021 у Wayback Machine.] — відповідь Tony Padilla на коментарі до відео
  • Пов'язана стаття в New York Times [Архівовано 5 березня 2022 у Wayback Machine.]
• Divergent Series: why 1 + 2 + 3 + · · · = −1/12 [Архівовано 6 листопада 2021 у Wayback Machine.] Brydon Cais з університету Аризони