Share to: share facebook share twitter share wa share telegram print page

Теорія множин Цермело

Теорія множин Цермелотеорія множин, що включає в себе 7 аксіом, опублікована німецьким математиком Ернстом Цермело у 1908 році. Система аксіом Цермело (Z) для теорії множин була створена тому, що в інтуїтивній теорії множин Георга Кантора були виявлені парадокси і аксіоматичний метод виявилася єдиним виходом із становища.

Пізніше Абрахам Френкель і Туралф Скулем розширили її до 10 аксіом (Теорія множин Цермело — Френкеля ZF).

Аксіоми Теорії множин Z

AXIOM I. Аксіома об'ємності (екстенсіональності). Дві множини збігаються (рівні між собою) тоді й лише тоді, коли вони мають одні й ті самі елементи:

Замість поданого твердження інколи записують, що елементи вважають однаковими, якщо вони належать до одних і тих самих множин. Інакше кажучи, їх неможливо розрізнити за допомогою належності до множин:

AXIOM II. Аксіома пари: Із двох довільних [однакових чи різних] множин можна утворити [щонайменше одну] невпорядковану пару, тобто таку множину , кожний елемент якої ідентичний даній множині або даній множині :
AXIOM III. Аксіомна схема виділення. Для довільної множини і властивості (предиката, висловлювання системи ) існує множина , елементами якої є ті й лише ті елементи множини , які мають властивість (при яких справджується Р):
.

Тут не входить у запис .

AXIOM IV. Аксіома булеана. Для довільної множини існує множина , елементами якої є ті й лише ті елементи, що є підмножинами .
.

З використанням відношення підмножини останню формулу можна спростити:

.

Таку множину називають булеаном множини та позначають або .

Для скінченних множин справджується рівність . Тут — кількість елементів множини .

AXIOM V. Аксіома об'єднання. З будь-якого сімейства множин можна утворити як мінімум одну таку множину , кожен елемент якої належить хоча б одній множині даного сімейства  :
AXIOM VI. Аксіома вибору. Для довільної множини існує функція , що вибирає з кожного непорожнього елемента множини єдиний елемент :
.
AXIOM VII. Аксіома нескінченності. Існує така множина , що містить порожню множину та для довільного належного до неї елемента y включає також і множину, утворену об’єднанням та :
.

За допомогою раніше означеного предикату цю аксіому можна записати так:

Теорія множин ZF

Абрахам Френкель і Туралф Скулем незалежно довели у 1922, що в теорії множин Z неможливо довести існування {Z0Z1Z2, ...}, де Z0натуральні числа, а Zn+1булеан Zn. Френкель запропонував доповнити Z новою аксіомою підстановки, а також акіомою регулярності.

Отриману систему називають системою аксіом Цермело — Френкеля і позначають ZF. Ця система аксіом містить єдине примітивне онтологічне (фундаментальне) поняття — множина, та єдине онтологічне припущення, що всі досліджувані об'єкти є множинами. Запроваджено єдине бінарне відношення приналежності до множини.

Див. також

Джерела


Посилання

Kembali kehalaman sebelumnya